Sejam
e
duas matrizes
, sendo
invertível. Prove as afirmações abaixo:
, se
é ortogonal.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa precisa.
- Dado:
e são matrizes . - Dado:
é invertível. Na afirmação a provar há a hipótese adicional de que é ortogonal. - Pedido: Mostrar que, se
é ortogonal, então
Passo 2
Relembrando propriedades fundamentais do determinante (a “aula rápida” que vamos usar).
- Definição intuitiva: o determinante de uma matriz quadrada mede o fator de escala de volume do endomorfismo linear correspondente. Isso explica por que composições de transformações multiplicam fatores de escala.
- Propriedade multiplicativa: para quaisquer matrizes quadradas compatíveis
e ,
Explicação curta: geometricamente, a composição de duas transformações escala volumes pelo produto dos fatores de cada uma; algébrica e formalmente isso decorre da definição do determinante (soma sobre permutações) e da multilinearidade das linhas/colunas.
- Transposta não altera o determinante: para toda matriz quadrada
,
Explicação curta: a fórmula do determinante é uma soma sobre permutações dos produtos de entradas
; transpor apenas troca índices das entradas sem alterar esses produtos, logo o valor não muda.
- Determinante da inversa: se
é invertível então
Justificativa: multiplicando
por
obtém-se a matriz identidade
e usando multiplicatividade
.
Passo 3
Definição e consequências de matriz ortogonal.
- Uma matriz
é ortogonal quando
Isto implica automaticamente que
(a transposta é a inversa).
- Tomando determinante em ambos os lados de
e usando multiplicatividade e o fato , obtemos
Mas como
, isto dá
Logo
Resumo: matrizes ortogonais têm determinante igual a
(rotações e composições pares) ou
(reflexões etc.), e em qualquer caso o quadrado do determinante vale
.
Passo 4
Cálculo direto de
usando as propriedades.
- Aplicando a propriedade multiplicativa do determinante a três fatores, obtemos
- Como
, isto fica
- Mas do Passo 3 sabemos que
quando é ortogonal. Portanto
Passo 5
Comentário didático final (para fixar a intuição).
- Intuição: a conjugação
corresponde a mudar de base por uma transformação ortonormal . Mudar de base por uma transformação que preserva comprimentos e volumes (isto é, ortogonal) não altera o fator de escala de volumes associado a , por isso o determinante permanece o mesmo. - Exemplo simples (não necessário, só para ver as coisas em números): se
é uma rotação em (ortogonal com ), então para qualquer tem-se ; a rotação só muda as coordenadas, não o fator de escala de áreas.