Sejam mathcal{A} e mathcal{B} duas matrizes 3 \times 3, sendo mathcal{B} invertível. Prove as afirmações abaixo:
\operatorname{det}\left(\mathcal{B}^{T} \mathcal{A} \mathcal{B}\right)=\operatorname{det} \mathcal{A}, se \mathcal{B} é ortogonal.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa precisa.
  • Dado: \mathcal{A} e \mathcal{B} são matrizes 3\times3.
  • Dado: \mathcal{B} é invertível. Na afirmação a provar há a hipótese adicional de que \mathcal{B} é ortogonal.
  • Pedido: Mostrar que, se \mathcal{B} é ortogonal, então
\det\!\left(\mathcal{B}^{T}\mathcal{A}\mathcal{B}\right)=\det\!\mathcal{A}.

Passo 2

Relembrando propriedades fundamentais do determinante (a “aula rápida” que vamos usar).
  • Definição intuitiva: o determinante de uma matriz quadrada mede o fator de escala de volume do endomorfismo linear correspondente. Isso explica por que composições de transformações multiplicam fatores de escala.
  • Propriedade multiplicativa: para quaisquer matrizes quadradas compatíveis X e Y,
\det(XY)=\det(X)\det(Y).
Explicação curta: geometricamente, a composição de duas transformações escala volumes pelo produto dos fatores de cada uma; algébrica e formalmente isso decorre da definição do determinante (soma sobre permutações) e da multilinearidade das linhas/colunas.
  • Transposta não altera o determinante: para toda matriz quadrada X,
\det(X^{T})=\det(X).
Explicação curta: a fórmula do determinante é uma soma sobre permutações dos produtos de entradas x_{i,\sigma(i)}; transpor apenas troca índices das entradas sem alterar esses produtos, logo o valor não muda.
  • Determinante da inversa: se X é invertível então
\det(X^{-1})=\frac{1}{\det(X)}.
Justificativa: multiplicando X por X^{-1} obtém-se a matriz identidade I e usando multiplicatividade \det(X)\det(X^{-1})=\det(I)=1.

Passo 3

Definição e consequências de matriz ortogonal.
  • Uma matriz \mathcal{B} é ortogonal quando
\mathcal{B}^{T}\mathcal{B}=I.
Isto implica automaticamente que \mathcal{B}^{-1}=\mathcal{B}^{T} (a transposta é a inversa).
  • Tomando determinante em ambos os lados de \mathcal{B}^{T}\mathcal{B}=I e usando multiplicatividade e o fato \det(I)=1, obtemos
\det(\mathcal{B}^{T})\det(\mathcal{B})=\det(I)=1.
Mas como \det(\mathcal{B}^{T})=\det(\mathcal{B}), isto dá
\det(\mathcal{B})^{2}=1.
Logo
\det(\mathcal{B})=\pm 1.
Resumo: matrizes ortogonais têm determinante igual a 1 (rotações e composições pares) ou -1 (reflexões etc.), e em qualquer caso o quadrado do determinante vale 1.

Passo 4

Cálculo direto de \det(\mathcal{B}^{T}\mathcal{A}\mathcal{B}) usando as propriedades.
  • Aplicando a propriedade multiplicativa do determinante a três fatores, obtemos
\det\!\left(\mathcal{B}^{T}\mathcal{A}\mathcal{B}\right) =\det(\mathcal{B}^{T})\det(\mathcal{A})\det(\mathcal{B}).
  • Como \det(\mathcal{B}^{T})=\det(\mathcal{B}), isto fica
\det\!\left(\mathcal{B}^{T}\mathcal{A}\mathcal{B}\right) =\det(\mathcal{B})\det(\mathcal{A})\det(\mathcal{B}) =\bigl(\det(\mathcal{B})\bigr)^{2}\det(\mathcal{A}).
  • Mas do Passo 3 sabemos que \bigl(\det(\mathcal{B})\bigr)^{2}=1 quando \mathcal{B} é ortogonal. Portanto
\det\!\left(\mathcal{B}^{T}\mathcal{A}\mathcal{B}\right)=1\cdot\det(\mathcal{A})=\det(\mathcal{A}).

Passo 5

Comentário didático final (para fixar a intuição).
  • Intuição: a conjugação \mathcal{A}\mapsto \mathcal{B}^{T}\mathcal{A}\mathcal{B} corresponde a mudar de base por uma transformação ortonormal \mathcal{B}. Mudar de base por uma transformação que preserva comprimentos e volumes (isto é, ortogonal) não altera o fator de escala de volumes associado a \mathcal{A}, por isso o determinante permanece o mesmo.
  • Exemplo simples (não necessário, só para ver as coisas em números): se \mathcal{B} é uma rotação em \mathbb{R}^{2} (ortogonal com \det=1), então para qualquer 2\times2 \mathcal{A} tem-se \det(B^{T}AB)=\det(A); a rotação só muda as coordenadas, não o fator de escala de áreas.

Resposta

\det\!\left(\mathcal{B}^{T}\mathcal{A}\mathcal{B}\right)=\det\!\mathcal{A}

Exercícios relacionados