Sejam mathcal{A} e mathcal{B} duas matrizes 3 \times 3, sendo mathcal{B} invertível. Prove as afirmações abaixo:
\left(\mathcal{B}^{-1} \mathcal{A} \mathcal{B}\right)^{n}=\mathcal{B}^{-1} \mathcal{A}^{n} \mathcal{B}, para todo n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes \mathcal{A} e \mathcal{B} de ordem 3\times3, com \mathcal{B} invertível (ou seja, existe \mathcal{B}^{-1}). O que se pede é provar que, para todo n\in\mathbb{N},
\left(\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{B}\right)^{n} = \mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}^{n}\mathcal{B}.
Lista das informações relevantes:
  • \mathcal{A} e \mathcal{B} são matrizes 3\times3.
  • \mathcal{B} é invertível, logo existe \mathcal{B}^{-1} tal que \mathcal{B}\mathcal{B}^{-1} = \mathcal{B}^{-1}\mathcal{B} = \mathcal{I}, com \mathcal{I} a matriz identidade 3\times3.
  • Queremos mostrar a igualdade pedida para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 2

Relembrando propriedades básicas que vamos usar (vai ser importante entender cada uma):
  • Definição de inversa: \mathcal{B} invertível significa que existe \mathcal{B}^{-1} com
\mathcal{B}\mathcal{B}^{-1} = \mathcal{B}^{-1}\mathcal{B} = \mathcal{I}.
  • A multiplicação de matrizes é associativa: para matrizes compatíveis de dimensão, vale
(XY)Z = X(YZ).
Isso permite que, quando escrevemos produtos longos, possamos mudar os parênteses sem alterar o resultado.
  • Potência de matriz: para n\in\mathbb{N}, \mathcal{A}^{n} denota o produto de n cópias de \mathcal{A}; por convenção \mathcal{A}^{1}=\mathcal{A} (e, se quiser, \mathcal{A}^{0}=\mathcal{I}, mas aqui usamos n\in\mathbb{N} no sentido usual positivo).

Passo 3

Base da indução (caso n=1). Verificamos que a igualdade vale para n=1:
\left(\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{B}\right)^{1} = \mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{B},
e também
\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}^{1}\mathcal{B} = \mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{B}.
Portanto a igualdade é verdadeira para n=1. (Isso é óbvio, mas é o ponto de partida para a indução.)

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que a propriedade seja verdadeira para um certo k\in\mathbb{N}, ou seja, suponha que
\left(\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{B}\right)^{k} = \mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}^{k}\mathcal{B}.
Vamos mostrar então que a propriedade vale para k+1.

Passo 5

Passo indutivo: calcular \left(\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{B}\right)^{k+1} usando a hipótese. Escrevemos
\left(\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{B}\right)^{k+1} = \left(\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{B}\right)^{k}\left(\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{B}\right).
Pela hipótese de indução substituímos o primeiro fator:
\left(\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{B}\right)^{k+1} = \bigl(\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}^{k}\mathcal{B}\bigr)\bigl(\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{B}\bigr).
Agora aplicamos associatividade para reagrupar os fatores de modo conveniente. Primeiro escrevemos explicitamente o produto:
\bigl(\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}^{k}\mathcal{B}\bigr)\bigl(\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{B}\bigr) = \mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}^{k}\underbrace{\mathcal{B}\mathcal{B}^{-1}}_{\mathcal{I}}\mathcal{A}\mathcal{B}.
Aqui usei associatividade para colocar os parênteses de forma que apareça o fator \mathcal{B}\mathcal{B}^{-1} no meio. Como \mathcal{B}\mathcal{B}^{-1}=\mathcal{I}, isso simplifica:
\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}^{k}\underbrace{\mathcal{B}\mathcal{B}^{-1}}_{\mathcal{I}}\mathcal{A}\mathcal{B} = \mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}^{k}\mathcal{I}\mathcal{A}\mathcal{B} = \mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}^{k}\mathcal{A}\mathcal{B}.
Agora juntamos as potências de \mathcal{A}:
\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}^{k}\mathcal{A}\mathcal{B} = \mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}^{k+1}\mathcal{B}.
Portanto obtivemos exatamente o que queríamos para k+1.

Passo 6

Conclusão por indução. Como a igualdade vale para n=1 e, sempre que vale para n=k implica que vale para n=k+1, por princípio da indução matemática a igualdade
\left(\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{B}\right)^{n} = \mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}^{n}\mathcal{B}
vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

\left(\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{B}\right)^{n}=\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}^{n}\mathcal{B}

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