Sejam mathcal{A} e mathcal{B} duas matrizes 3 \times 3, sendo mathcal{B} invertível. Prove as afirmações abaixo: \left(\mathcal{B}^{-1} \mathcal{A} \mathcal{B}\right)^{n}=\mathcal{B}^{-1} \mathcal{A}^{n} \mathcal{B}, para todo n \in \mathbb{N}.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes \mathcal{A} e \mathcal{B} de ordem 3\times3, com \mathcal{B} invertível (ou seja, existe \mathcal{B}^{-1}). O que se pede é provar que, para todo n\in\mathbb{N},
\mathcal{B} é invertível, logo existe \mathcal{B}^{-1} tal que \mathcal{B}\mathcal{B}^{-1} = \mathcal{B}^{-1}\mathcal{B} = \mathcal{I}, com \mathcal{I} a matriz identidade 3\times3.
Queremos mostrar a igualdade pedida para todo n\in\mathbb{N}.
Passo 2
Relembrando propriedades básicas que vamos usar (vai ser importante entender cada uma):
Definição de inversa: \mathcal{B} invertível significa que existe \mathcal{B}^{-1} com
A multiplicação de matrizes é associativa: para matrizes compatíveis de dimensão, vale
(XY)Z = X(YZ).
Isso permite que, quando escrevemos produtos longos, possamos mudar os parênteses sem alterar o resultado.
Potência de matriz: para n\in\mathbb{N}, \mathcal{A}^{n} denota o produto de n cópias de \mathcal{A}; por convenção \mathcal{A}^{1}=\mathcal{A} (e, se quiser, \mathcal{A}^{0}=\mathcal{I}, mas aqui usamos n\in\mathbb{N} no sentido usual positivo).
Passo 3
Base da indução (caso n=1). Verificamos que a igualdade vale para n=1:
Aqui usei associatividade para colocar os parênteses de forma que apareça o fator \mathcal{B}\mathcal{B}^{-1} no meio. Como \mathcal{B}\mathcal{B}^{-1}=\mathcal{I}, isso simplifica:
Portanto obtivemos exatamente o que queríamos para k+1.
Passo 6
Conclusão por indução. Como a igualdade vale para n=1 e, sempre que vale para n=k implica que vale para n=k+1, por princípio da indução matemática a igualdade