Sejam
e
duas matrizes
, sendo
invertível. Prove as afirmações abaixo:
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e são matrizes . -
é invertível (isto significa que existe tal que , onde é a matriz identidade ).
O que o problema pede:
- Provar que
.
Passo 2
Vamos recordar propriedades fundamentais do determinante que vamos usar (explicadas de forma direta e prática).
- Para quaisquer matrizes quadradas
e de mesma ordem vale a propriedade multiplicativa:
Isto significa que o determinante transforma produto de matrizes em produto de escalares (determinantes). Não vamos provar aqui a definição abstrata do determinante, mas essa propriedade é uma regra padrão que pode ser usada diretamente em provas como esta.
- A determinante da matriz identidade
é
- Se uma matriz
é invertível, então , e o determinante da inversa satisfaz
Prova simples dessa última: como
, aplicando a propriedade multiplicativa obtemos
logo
.
Aqui nossas variáveis são matrizes quadradas
, mas as propriedades acima valem para qualquer ordem
.
Passo 3
Agora aplicamos a propriedade multiplicativa ao produto
. Usando associatividade da multiplicação matricial e a multiplicatividade do determinante, temos:
Em seguida aplicamos a multiplicatividade de novo em
:
Substituindo nessa expressão,
Passo 4
Agora usamos a relação entre determinante da inversa e determinante da matriz:
já que
é invertível e, portanto,
. Substituindo:
Passo 5
Fazendo a simplificação algébrica (cancelando
no numerador e denominador), obtemos
Isso conclui a prova: a operação de conjugação por
(isto é,
) preserva o determinante.
Passo 6
Um exemplo numérico curto para intuir: seja
Então
e
. Calculando
e seu determinante verá que o resultado continua
. Isso é coerente com a prova geral acima. (Exemplo serve só para ganhar intuição; a prova anterior é válida para qualquer
quadradas com
invertível.)]