Sejam mathcal{A} e mathcal{B} duas matrizes 3 \times 3, sendo mathcal{B} invertível. Prove as afirmações abaixo:
\operatorname{det}\left(\mathcal{B}^{-1} \mathcal{A} \mathcal{B}\right)=\operatorname{det} \mathcal{A}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \mathcal{A} e \mathcal{B} são matrizes 3\times3.
  • \mathcal{B} é invertível (isto significa que existe \mathcal{B}^{-1} tal que \mathcal{B}\mathcal{B}^{-1}=\mathcal{B}^{-1}\mathcal{B}=I, onde I é a matriz identidade 3\times3).
O que o problema pede:
  • Provar que \operatorname{det}\!\left(\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{B}\right)=\operatorname{det}\mathcal{A}.

Passo 2

Vamos recordar propriedades fundamentais do determinante que vamos usar (explicadas de forma direta e prática).
  1. Para quaisquer matrizes quadradas X e Y de mesma ordem vale a propriedade multiplicativa:
\operatorname{det}(XY)=\operatorname{det}X\cdot\operatorname{det}Y.
Isto significa que o determinante transforma produto de matrizes em produto de escalares (determinantes). Não vamos provar aqui a definição abstrata do determinante, mas essa propriedade é uma regra padrão que pode ser usada diretamente em provas como esta.
  1. A determinante da matriz identidade I é
\operatorname{det}I=1.
  1. Se uma matriz B é invertível, então \operatorname{det}B\neq0, e o determinante da inversa satisfaz
\operatorname{det}\!\left(B^{-1}\right)=\frac{1}{\operatorname{det}B}.
Prova simples dessa última: como B B^{-1}=I, aplicando a propriedade multiplicativa obtemos
\operatorname{det}B\cdot\operatorname{det}\!\left(B^{-1}\right)=\operatorname{det}I=1,
logo \operatorname{det}\!\left(B^{-1}\right)=1/\operatorname{det}B.
Aqui nossas variáveis são matrizes quadradas 3\times3, mas as propriedades acima valem para qualquer ordem n.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade multiplicativa ao produto \mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{B}. Usando associatividade da multiplicação matricial e a multiplicatividade do determinante, temos:
\operatorname{det}\!\left(\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{B}\right) = \operatorname{det}\!\left(\mathcal{B}^{-1}\right)\cdot\operatorname{det}\!\left(\mathcal{A}\mathcal{B}\right).
Em seguida aplicamos a multiplicatividade de novo em \operatorname{det}\!\left(\mathcal{A}\mathcal{B}\right):
\operatorname{det}\!\left(\mathcal{A}\mathcal{B}\right)=\operatorname{det}\mathcal{A}\cdot\operatorname{det}\mathcal{B}.
Substituindo nessa expressão,
\operatorname{det}\!\left(\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{B}\right) = \operatorname{det}\!\left(\mathcal{B}^{-1}\right)\cdot\bigl(\operatorname{det}\mathcal{A}\cdot\operatorname{det}\mathcal{B}\bigr).

Passo 4

Agora usamos a relação entre determinante da inversa e determinante da matriz:
\operatorname{det}\!\left(\mathcal{B}^{-1}\right)=\frac{1}{\operatorname{det}\mathcal{B}},
já que \mathcal{B} é invertível e, portanto, \operatorname{det}\mathcal{B}\neq0. Substituindo:
\operatorname{det}\!\left(\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{B}\right) = \frac{1}{\operatorname{det}\mathcal{B}}\cdot\bigl(\operatorname{det}\mathcal{A}\cdot\operatorname{det}\mathcal{B}\bigr).

Passo 5

Fazendo a simplificação algébrica (cancelando \operatorname{det}\mathcal{B} no numerador e denominador), obtemos
\operatorname{det}\!\left(\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{B}\right)=\operatorname{det}\mathcal{A}.
Isso conclui a prova: a operação de conjugação por \mathcal{B} (isto é, \mathcal{A}\mapsto\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{B}) preserva o determinante.

Passo 6

Um exemplo numérico curto para intuir: seja
\mathcal{A}=\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]0 & 3\end{pmatrix},\qquad \mathcal{B}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & 2\end{pmatrix}.
Então \operatorname{det}\mathcal{A}=2\cdot3=6 e \operatorname{det}\mathcal{B}=1\cdot2=2. Calculando \mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{B} e seu determinante verá que o resultado continua 6. Isso é coerente com a prova geral acima. (Exemplo serve só para ganhar intuição; a prova anterior é válida para qualquer \mathcal{A},\mathcal{B} quadradas com \mathcal{B} invertível.)]

Resposta

\operatorname{det}\!\left(\mathcal{B}^{-1}\mathcal{A}\mathcal{B}\right)=\operatorname{det}\mathcal{A}

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