Sejam
e
duas matrizes
, sendo
invertível. Prove as afirmações abaixo:
Se
é ortogonal, então
.
Se
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- São dadas duas matrizes
e de ordem . - Sabe-se que
é invertível. - A hipótese adicional desta parte é que
é ortogonal. - O que se pede: provar que
.
Passo 2
Definição de matriz ortogonal (em linguagem simples):
- Uma matriz quadrada
é dita ortogonal se suas colunas (ou linhas) formam um conjunto ortonormal, o que se expressa algebraicamente por
onde
é a transposta de
e
é a matriz identidade
.
- Essa igualdade é a característica que vamos usar.
Passo 3
Propriedades do determinante que vamos usar (explicadas de forma didática):
- Multiplicatividade do determinante: para quaisquer matrizes quadradas compatíveis
e vale
Intuição: o determinante mede fator de escala na transformação linear; aplicar
e depois
escala por
e depois por
, total
.
- Determinante da transposta: para qualquer matriz quadrada
vale
Intuição simples: a definição do determinante envolve somas e produtos que não mudam se trocarmos linhas por colunas.
- Determinante da identidade: para a matriz identidade
de qualquer ordem,
pois
não altera volumes (fator de escala igual a
).
Passo 4
Aplicar determinante à igualdade que caracteriza ortogonalidade:
- Partimos de
. - Tomando determinante em ambos os lados e usando a propriedade de multiplicatividade, obtemos
Passo 5
Usar as propriedades para simplificar a expressão:
- Pela multiplicatividade,
- Pela propriedade da transposta,
. - Pela propriedade do determinante da identidade,
. - Substituindo tudo:
Passo 6
Concluir a igualdade escalar e o resultado:
- A igualdade do passo anterior é
- Resolvendo essa equação real para
obtém-se
- Observação: como
é invertível, seu determinante não pode ser ; aqui obtemos de fato valores não nulos ( ), consistentes com a invertibilidade.
Passo 7
Exemplos rápidos para intuir o resultado (sem formalidade extra):
- Uma rotação no plano (representada por uma matriz ortogonal de determinante
) preserva orientação e área, então tem . - Uma reflexão (matriz ortogonal que inverte orientação) tem
.