Sejam mathcal{A} e mathcal{B} duas matrizes 3 \times 3, sendo mathcal{B} invertível. Prove as afirmações abaixo:
Se \mathcal{B} é ortogonal, então \operatorname{det} \mathcal{B}= \pm 1.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • São dadas duas matrizes \mathcal{A} e \mathcal{B} de ordem 3\times3.
  • Sabe-se que \mathcal{B} é invertível.
  • A hipótese adicional desta parte é que \mathcal{B} é ortogonal.
  • O que se pede: provar que \det \mathcal{B} = \pm 1.

Passo 2

Definição de matriz ortogonal (em linguagem simples):
  • Uma matriz quadrada \mathcal{B} é dita ortogonal se suas colunas (ou linhas) formam um conjunto ortonormal, o que se expressa algebraicamente por
\mathcal{B}^{T}\mathcal{B}=I,
onde \mathcal{B}^{T} é a transposta de \mathcal{B} e I é a matriz identidade 3\times3.
  • Essa igualdade é a característica que vamos usar.

Passo 3

Propriedades do determinante que vamos usar (explicadas de forma didática):
  1. Multiplicatividade do determinante: para quaisquer matrizes quadradas compatíveis X e Y vale
\det(XY)=\det(X)\det(Y).
Intuição: o determinante mede fator de escala na transformação linear; aplicar X e depois Y escala por \det X e depois por \det Y, total \det X\cdot\det Y.
  1. Determinante da transposta: para qualquer matriz quadrada X vale
\det(X^{T})=\det(X).
Intuição simples: a definição do determinante envolve somas e produtos que não mudam se trocarmos linhas por colunas.
  1. Determinante da identidade: para a matriz identidade I de qualquer ordem,
\det(I)=1,
pois I não altera volumes (fator de escala igual a 1).

Passo 4

Aplicar determinante à igualdade que caracteriza ortogonalidade:
  • Partimos de \mathcal{B}^{T}\mathcal{B}=I.
  • Tomando determinante em ambos os lados e usando a propriedade de multiplicatividade, obtemos
\det(\mathcal{B}^{T}\mathcal{B})=\det(I).

Passo 5

Usar as propriedades para simplificar a expressão:
  • Pela multiplicatividade,
\det(\mathcal{B}^{T}\mathcal{B})=\det(\mathcal{B}^{T})\det(\mathcal{B}).
  • Pela propriedade da transposta, \det(\mathcal{B}^{T})=\det(\mathcal{B}).
  • Pela propriedade do determinante da identidade, \det(I)=1.
  • Substituindo tudo:
\det(\mathcal{B})\det(\mathcal{B})=1.

Passo 6

Concluir a igualdade escalar e o resultado:
  • A igualdade do passo anterior é
\bigl(\det(\mathcal{B})\bigr)^{2}=1.
  • Resolvendo essa equação real para \det(\mathcal{B}) obtém-se
\det(\mathcal{B})=\pm 1.
  • Observação: como \mathcal{B} é invertível, seu determinante não pode ser 0; aqui obtemos de fato valores não nulos ( \pm 1), consistentes com a invertibilidade.

Passo 7

Exemplos rápidos para intuir o resultado (sem formalidade extra):
  • Uma rotação no plano (representada por uma matriz ortogonal de determinante +1) preserva orientação e área, então tem \det=+1.
  • Uma reflexão (matriz ortogonal que inverte orientação) tem \det=-1.

Resposta

\det \mathcal{B}=\pm 1

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