Encontrar a matriz [I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}.]
Passo 2
Entendendo o que é pedido (sem usar jargões pesados): a matriz [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} transforma coordenadas de um vetor escritas na base \mathcal{B} para coordenadas desse mesmo vetor escritas na base \mathcal{C}. Em símbolos, para um vetor v vale
Se agora aplicarmos primeiro a transformação que leva coordenadas de \mathcal{C} para \mathcal{B} e em seguida a que leva de \mathcal{B} para \mathcal{C}, isso é a identidade nas coordenadas, logo as duas matrizes se compõem como a matriz identidade. Em forma matricial:
[I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\;[I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} = I.
Isto significa que [I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} é a matriz inversa de [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}. Portanto basta calcular a inversa da matriz dada.
Passo 3
Breve aula prática sobre inversa por eliminação (Gauss–Jordan):
Para encontrar a inversa de uma matriz A de ordem 3, monta-se a matriz aumentada \bigl[A \mid I\bigr] e realiza-se operações elementares sobre linhas até obter \bigl[I \mid A^{-1}\bigr].
Cada operação de linha é do tipo: trocar linhas, somar múltiplos de uma linha em outra, multiplicar uma linha por escalar não nulo.