(1,0) Sejam \mathcal{B} e \mathcal{C} bases de \mathcal{P}_{2}, onde \mathcal{B}=\left\{x_{1} 1+x^{2}, x+x^{2}\right\} e [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right].
Encontre a matriz [I]_{B}^{\mathcal{C}}.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A base \mathcal{B}=\left\{x_{1} 1+x^{2}, x+x^{2}\right\} (texto do enunciado — estou listando exatamente como foi dado).
  • A matriz da aplicação identidade indicada por [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}, que é
[I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}= \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
O que o exercício pede:
  • Encontrar a matriz [I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}.]

Passo 2

Entendendo o que é pedido (sem usar jargões pesados): a matriz [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} transforma coordenadas de um vetor escritas na base \mathcal{B} para coordenadas desse mesmo vetor escritas na base \mathcal{C}. Em símbolos, para um vetor v vale
[I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\,[v]_{\mathcal{B}} = [v]_{\mathcal{C}}.
Se agora aplicarmos primeiro a transformação que leva coordenadas de \mathcal{C} para \mathcal{B} e em seguida a que leva de \mathcal{B} para \mathcal{C}, isso é a identidade nas coordenadas, logo as duas matrizes se compõem como a matriz identidade. Em forma matricial:
[I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\;[I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} = I.
Isto significa que [I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} é a matriz inversa de [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}. Portanto basta calcular a inversa da matriz dada.

Passo 3

Breve aula prática sobre inversa por eliminação (Gauss–Jordan):
  • Para encontrar a inversa de uma matriz A de ordem 3, monta-se a matriz aumentada \bigl[A \mid I\bigr] e realiza-se operações elementares sobre linhas até obter \bigl[I \mid A^{-1}\bigr].
  • Cada operação de linha é do tipo: trocar linhas, somar múltiplos de uma linha em outra, multiplicar uma linha por escalar não nulo.
  • No final, o bloco à direita será A^{-1}.
Aplicamos isso a
A = [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}= \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \text{aumentada com } I: \quad \left[\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Executando as operações passo a passo (descrevendo cada operação e mostrando o resultado):
  1. Trocar \text{R}_1 com \text{R}_2 (para ter pivô 1 na primeira linha):
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
  1. Eliminar o elemento em (2,1) fazendo \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 + \text{R}_1:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
  1. Eliminar o elemento em (3,2) fazendo \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \text{R}_2:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right]
  1. Eliminar o elemento em (1,3) fazendo \text{R}_1 \leftarrow \text{R}_1 - \text{R}_3:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right]
Agora a parte esquerda é a identidade, então a parte direita é a inversa.]

Passo 5

Concluímos que a inversa da matriz dada — que é justamente [I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} — é a matriz que aparece no bloco direito final:
[I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

[I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}]

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