1. (4,0) Sejam x=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 1 \\\\ 5\end{array}\right], \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\} e \mathcal{C}=\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right]\right\} e m \mathbb{R}^{3}.
    (a) Encontre o vetor de coordenadas [x]_{\mathcal{B}}.
    (b) Encontre a matriz de mudança de base [I]_{C}^{B}.
    (c) Encontre o vetor de coordenadas [x]_{c} usando o item (b).

Passo 1

O enunciado dá:
  • O vetor em coordenadas canônicas (padrão) \displaystyle x=\begin{bmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]5\end{bmatrix}.
  • A base \mathcal{B}=\left\{\,\begin{bmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{bmatrix}\right\}. Vou chamar esses vetores de b_1,b_2,b_3 nessa ordem.
  • A base \mathcal{C}=\left\{\,\begin{bmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{bmatrix}\right\}. Vou chamar esses vetores de c_1,c_2,c_3 nessa ordem.
O que se pede:
(a) encontrar o vetor de coordenadas [x]_{\mathcal{B}} (ou seja, os coeficientes de x na base \mathcal{B});
(b) encontrar a matriz de mudança de base [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} (nota: esta é a matriz da aplicação identidade que transforma coordenadas em \mathcal{B} nas coordenadas em \mathcal{C}. Logo, ela satisfaz [x]_{\mathcal{C}} = [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\,[x]_{\mathcal{B}});
(c) usar (b) para obter [x]_{\mathcal{C}}.]

Passo 2

Entender o que significa [x]_{\mathcal{B}}.
Definição curta e prática: [x]_{\mathcal{B}} é o vetor com as coordenadas (os coeficientes) \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 tais que
x=\alpha_1 b_1+\alpha_2 b_2+\alpha_3 b_3.
Como b_1=\begin{bmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{bmatrix}=e_2, b_2=\begin{bmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{bmatrix}=e_3 e b_3=\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{bmatrix}=e_1 (são apenas uma permutação dos vetores da base canônica), escrever x como combinação linear deles é simples: se
\alpha_1 b_1+\alpha_2 b_2+\alpha_3 b_3 = \alpha_1 e_2+\alpha_2 e_3+\alpha_3 e_1 = \begin{bmatrix}\alpha_3\\[4pt]\alpha_1\\[4pt]\alpha_2\end{bmatrix},
então queremos que isso seja igual a x=\begin{bmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]5\end{bmatrix}. Assim igualando componentes:
\alpha_3=3,\qquad \alpha_1=1,\qquad \alpha_2=5.
Portanto as coordenadas na ordem (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) (a ordem da base \mathcal{B}) são
[x]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}1\\[4pt]5\\[4pt]3\end{bmatrix}.]

Passo 3

Construir a matriz de mudança de base [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}.
Conceito prático: a matriz [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} transforma coordenadas em \mathcal{B} nas coordenadas em \mathcal{C}. Suas colunas são justamente as coordenadas, em \mathcal{C}, dos vetores b_1,b_2,b_3. Ou seja, para cada j resolvemos
b_j = \lambda_{1j} c_1 + \lambda_{2j} c_2 + \lambda_{3j} c_3,
e a coluna j de [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} é \begin{bmatrix}\lambda_{1j}\\[4pt]\lambda_{2j}\\[4pt]\lambda_{3j}\end{bmatrix}.
Método conveniente: formar a matriz C cujas colunas são c_1,c_2,c_3 (coordenadas canônicas) e a matriz B cujas colunas são b_1,b_2,b_3. Então as coordenadas de todos os b_j na base \mathcal{C} vêm da fórmula
[I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} = C^{-1} B.
Vamos calcular explicitamente.
Escrevendo C e B:
C=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}.
Calcular C^{-1}. Primeiro o determinante:
\det\text{(C)}=2.
Agora calculo da matriz adjunta (cofatores transposta). Os cofatores dão a matriz (antes da transposição)
\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{bmatrix},
logo a adjunta (transposta) é
\operatorname{adj}\text{(C)}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}.
Portanto
C^{-1}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}.
Agora multiplico C^{-1}B. Primeiro faço a multiplicação sem o fator 1/2: seja
P=\operatorname{adj}\text{(C)}\,B=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}.
(Derivação curta: cada coluna de P é \operatorname{adj}\text{(C)}\cdot b_j; calculei explicitamente as colunas e obtive as colunas acima.)
Dividindo por 2 obtemos
[I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=C^{-1}B=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}.
Observação intuitiva: cada coluna é o vetor de coeficientes (em \mathcal{C}) correspondente a b_1,b_2,b_3.]

Passo 4

Usar a matriz de mudança de base para obter [x]_{\mathcal{C}}.
Recordando a relação
[x]_{\mathcal{C}} = [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\,[x]_{\mathcal{B}},
substituo os valores que já tenho:
[I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad [x]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}1\\[4pt]5\\[4pt]3\end{bmatrix}.
Calculo do produto (faço a multiplicação inteira e depois divido por 2):
\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\[4pt]5\\[4pt]3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\cdot1 + (-1)\cdot5 + 1\cdot3\\[4pt] 1\cdot1 + 1\cdot5 + (-1)\cdot3\\[4pt] -1\cdot1 + 1\cdot5 + 1\cdot3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1\\[4pt]3\\[4pt]7\end{bmatrix}.
Dividindo por 2 resulta
[x]_{\mathcal{C}}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}-1\\[4pt]3\\[4pt]7\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{3}{2}\\[4pt]\tfrac{7}{2}\end{bmatrix}.
(Fica como conferência: se multiplicarmos C por esse [x]_{\mathcal{C}} voltamos ao x canônico; isto serve como verificação rápida.)]

Resposta

(a) [x]_{\mathcal{B}}=\begin{bmatrix}1\\[4pt]5\\[4pt]3\end{bmatrix}
(b) [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix}1 & -1 & 1\\[4pt]1 & 1 & -1\\[4pt]-1 & 1 & 1\end{bmatrix}
(c) [x]_{\mathcal{C} }=\begin{bmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{3}{2}\\[4pt]\tfrac{7}{2}\end{bmatrix}]

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