(4,0) Sejam x=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 1 \\\\ 5\end{array}\right], \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\} e \mathcal{C}=\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right]\right\} e m \mathbb{R}^{3}.
(a) Encontre o vetor de coordenadas [x]_{\mathcal{B}}.
(b) Encontre a matriz de mudança de base [I]_{C}^{B}.
(c) Encontre o vetor de coordenadas [x]_{c} usando o item (b).
Passo 1
O enunciado dá:
O vetor em coordenadas canônicas (padrão) \displaystyle x=\begin{bmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]5\end{bmatrix}.
A base \mathcal{B}=\left\{\,\begin{bmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{bmatrix}\right\}. Vou chamar esses vetores de b_1,b_2,b_3 nessa ordem.
A base \mathcal{C}=\left\{\,\begin{bmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{bmatrix}\right\}. Vou chamar esses vetores de c_1,c_2,c_3 nessa ordem.
O que se pede:
(a) encontrar o vetor de coordenadas [x]_{\mathcal{B}} (ou seja, os coeficientes de x na base \mathcal{B});
(b) encontrar a matriz de mudança de base [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} (nota: esta é a matriz da aplicação identidade que transforma coordenadas em \mathcal{B} nas coordenadas em \mathcal{C}. Logo, ela satisfaz [x]_{\mathcal{C}} = [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\,[x]_{\mathcal{B}});
(c) usar (b) para obter [x]_{\mathcal{C}}.]
Passo 2
Entender o que significa [x]_{\mathcal{B}}.
Definição curta e prática: [x]_{\mathcal{B}} é o vetor com as coordenadas (os coeficientes) \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 tais que
x=\alpha_1 b_1+\alpha_2 b_2+\alpha_3 b_3.
Como b_1=\begin{bmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{bmatrix}=e_2, b_2=\begin{bmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{bmatrix}=e_3 e b_3=\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{bmatrix}=e_1 (são apenas uma permutação dos vetores da base canônica), escrever x como combinação linear deles é simples: se
Construir a matriz de mudança de base [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}.
Conceito prático: a matriz [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} transforma coordenadas em \mathcal{B} nas coordenadas em \mathcal{C}. Suas colunas são justamente as coordenadas, em \mathcal{C}, dos vetores b_1,b_2,b_3. Ou seja, para cada j resolvemos
e a coluna j de [I]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} é \begin{bmatrix}\lambda_{1j}\\[4pt]\lambda_{2j}\\[4pt]\lambda_{3j}\end{bmatrix}.
Método conveniente: formar a matriz C cujas colunas são c_1,c_2,c_3 (coordenadas canônicas) e a matriz B cujas colunas são b_1,b_2,b_3. Então as coordenadas de todos os b_j na base \mathcal{C} vêm da fórmula