Sejam \mathcal{C}_{1} e \mathcal{C}_{2} as curvas planas de equação, respectivamente
\begin{gathered} -\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{5}=1 \\\\ -\frac{(x+3)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{5}=1 \end{gathered}
(e.1) Determine uma equação cartesiana ou geral de r (ou seja, uma equação do tipo a x+b y=c).

Passo 1

Temos as duas curvas dadas (vou repetir exatamente como você apresentou):
-\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{5}=1
-\frac{(x+3)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{5}=1
O enunciado que você enviou pede: “Determine uma equação cartesiana ou geral de r (ou seja, uma equação do tipo a x+b y=c).”
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Duas hipérboles centradas, respectivamente, em (0,0) e em (-3,2) (isso pode ser verificado pelas fórmulas dadas).
  • A pergunta pede uma equação de uma reta chamada r.
Observação importante: no trecho que você enviou não há definição do que é a reta r. Não está explícito se r é, por exemplo, uma assíntota comum, uma tangente comum, a reta que une os centros, a mediatriz entre centros, a eixo de simetria, etc. Sem essa definição, a incógnita “qual reta r?” permanece aberta.

Passo 2

Por que isso é um problema para resolver? Porque a família de retas é muito grande: existe uma reta única para cada escolha de a,b,c (até escala), e diferentes interpretações do que é r levam a retas diferentes. Para você não ficar na dúvida na prova, explico como se procede em alguns possíveis significados de r — assim, se o seu enunciado original tinha uma definição que não foi copiada para cá, você verá imediatamente qual cálculo fazer.
Exemplos de interpretações e como proceder (resumo didático):
  1. Se r fosse uma assíntota comum às duas hipérboles:
  • Forma geral da primeira hipérbole (central, sem translação) é \dfrac{y^{2}}{5}-\dfrac{x^{2}}{4}=1. As assíntotas de uma hipérbole centrada em (h,k) dada por \dfrac{(y-k)^{2}}{5}-\dfrac{(x-h)^{2}}{4}=1 são
y-k=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}(x-h).
  • Para a primeira (centro (0,0)) as assíntotas são
y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\,x.
  • Para a segunda (centro (-3,2)) as assíntotas são
y-2=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}(x+3).
  • Para ser assíntota comum, uma das linhas dos primeiros dois conjuntos teria de coincidir exatamente com uma das linhas do segundo conjunto. Se você comparar, verá que não coincidem (as constantes de deslocamento são diferentes), logo não existe assíntota comum entre as duas hipérboles. Então, se o enunciado pedisse “a assíntota comum”, a resposta seria que não existe.
  1. Se r fosse a reta que une os centros das hipérboles:
  • Centros: primeiro (0,0), segundo (-3,2).
  • A reta que passa por esses dois pontos tem coeficiente angular
m=\frac{2-0}{-3-0}=-\frac{2}{3}.
  • Equação no formato pedido a x+b y=c: escrevendo y=-\tfrac{2}{3}x e passando todos os termos para o mesmo lado, obtemos
2x+3y=0.
Se essa fosse a definição de r, então r seria 2x+3y=0.
  1. Se r fosse uma tangente comum às duas hipérboles (ou uma das tangentes comuns):
  • Método padrão: escrever uma reta genérica na forma y=mx+n (ou ax+by=c), inserir na equação de cada hipérbole e exigir que o sistema tenha interseção com multiplicidade (isto é, o polinômio resultante em x tenha discriminante zero) — isso dá uma condição que relaciona m e n para cada hipérbole. Uma reta comum tangente precisa satisfazer simultaneamente as duas condições, levando a um sistema para (m,n). Esse cálculo é um pouco extenso, mas é a técnica direta e objetiva para tangentes comuns.

Passo 3

Conclusão prática: com o enunciado que você mandou aqui não há definição de qual é a reta r. Sem essa definição não há uma única resposta possível, logo não é possível determinar de maneira única uma equação do tipo a x+b y=c.
Se na sua versão original do exercício r era definida (por exemplo, “r é a reta que une os centros” ou “r é uma assíntota comum” ou “r é uma tangente comum”), me diga qual dessas definições estava no enunciado completo — então eu faço a resolução passo a passo apropriada. Enquanto isso, já te dei os procedimentos e um exemplo concreto (reta entre centros: 2x+3y=0) para você checar se era isso que o professor queria.

Resposta

Não é possível determinar uma equação única para r pois o enunciado enviado não define o que é a reta r.

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