Sejam \mathcal{C}_{1} e \mathcal{C}_{2} as curvas planas de equação, respectivamente
\begin{gathered} -\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{5}=1 \\\\ -\frac{(x+3)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{5}=1 \end{gathered}
(c) Determine, se houver, os pontos de interseção de \mathcal{C}_{1} com o eixo y.

Passo 1

O enunciado dá a curva \mathcal{C}_{1} com equação
-\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{5}=1
e pede: "Determine, se houver, os pontos de interseção de \mathcal{C}_{1} com o eixo y". Informação relevante a listar:
  • A equação de \mathcal{C}_{1} é -\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{5}=1.
  • O eixo y é o conjunto dos pontos cujas coordenadas satisfazem x=0.
    Nada mais será resolvido neste passo — só identifiquei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Estratégia básica (explicando o porquê): para achar interseção com o eixo y devemos encontrar os pontos da curva que têm x=0, porque o eixo y é justamente a reta vertical onde x=0. Portanto, basta substituir x=0 na equação de \mathcal{C}_{1} e resolver para y.

Passo 3

Substituindo x=0 na equação de \mathcal{C}_{1}:
-\frac{0^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{5}=1.
Simplificando o primeiro termo (porque 0^{2}=0):
\frac{y^{2}}{5}=1.
Agora multiplicamos ambos os lados por 5 para isolar y^{2}:
y^{2}=5.
Para resolver y^{2}=5 tiramos a raiz quadrada dos dois lados. Lembre que a raiz quadrada de um quadrado dá duas soluções com sinais opostos (exceto quando o número é zero). Assim:
y=\pm\sqrt{5}.

Passo 4

Interpretação geométrica e verificação: obtivemos duas soluções para y, y=\sqrt{5} e y=-\sqrt{5}. Isso significa que a curva corta o eixo y em dois pontos simétricos em relação à origem, coisa que faz sentido porque a equação é simétrica em y (aparecem y^{2}). Uma intuição numérica: \sqrt{5}\approx 2,236, então os pontos ficam aproximadamente em y\approx 2{,}236 e y\approx -2{,}236.

Resposta

(0,\sqrt{5})
(0,-\sqrt{5})

Exercícios relacionados