Sejam
e
as curvas planas de equação, respectivamente
(d) Determine uma equação para a reta que contém os focos, os vértices e o centro da curva
.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas e pede, para a curva
, uma equação da reta que contém os focos, os vértices e o centro dessa curva. As informações fornecidas são:
A segunda equação é a da curva
. A tarefa é determinar a reta que passa pelos pontos: centro, vértices e focos de
.
Passo 2
Primeiro vamos entender a forma geral da equação que aparece em
. Uma hipérbole centrada em
com o termo positivo no quadrado de
tem a forma
Explicando essa forma, devagarinho:
-
é o centro da hipérbole (é o ponto que aparece nas translações e ). - O denominador
está junto do termo positivo ; o número é a semi‑“distância” do centro até cada vértice ao longo do eixo transverso (aqui, eixo vertical). - O denominador
está junto do termo negativo ; é a semi‑“distância” ao longo do eixo conjugado (horizontal). - Os focos ficam no mesmo eixo que os vértices (o eixo transverso). Chamamos
a distância do centro a cada foco; para essa forma vale a relação
Essa relação é uma propriedade padrão das hipérboles na forma apresentada; usamos ela para calcular a posição dos focos a partir de
e
.
Passo 3
Aplicando a identificação da forma geral em
:
comparando com
vemos explicitamente:
- o centro é
porque aparecem e ; -
(denominador do termo positivo em ), logo ; -
(denominador do termo de ), logo .
Passo 4
Calculemos
usando a relação
. Substituindo os valores:
portanto
Isso significa que, medindo a partir do centro
, os focos estão a uma distância
ao longo do eixo transverso (vertical) e os vértices a uma distância
.
Passo 5
Agora escrevemos as coordenadas do centro, dos vértices e dos focos:
- Centro:
(já identificado no Passo 3). - Vértices:
. Explicitamente são os pontos e . - Focos:
. Explicitamente são os pontos e .
Passo 6
Observando as coordenadas acima vemos que o centro, ambos os vértices e ambos os focos têm todas a mesma abscissa
. Portanto esses pontos estão alinhados numa reta vertical cuja equação é simplesmente
Intuitivamente: quando o termo em
é o positivo na forma padrão, o eixo transverso é vertical; ao transladar a hipérbole para o centro
esse eixo vertical fica na reta
. Aqui
.