Sejam \mathcal{C}_{1} e \mathcal{C}_{2} as curvas planas de equação, respectivamente
\begin{gathered} -\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{5}=1 \\\\ -\frac{(x+3)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{5}=1 \end{gathered}
(d) Determine uma equação para a reta que contém os focos, os vértices e o centro da curva \mathcal{C}_{2}.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas e pede, para a curva \mathcal{C}_{2}, uma equação da reta que contém os focos, os vértices e o centro dessa curva. As informações fornecidas são:
-\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{5}=1
-\frac{(x+3)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{5}=1
A segunda equação é a da curva \mathcal{C}_{2}. A tarefa é determinar a reta que passa pelos pontos: centro, vértices e focos de \mathcal{C}_{2}.

Passo 2

Primeiro vamos entender a forma geral da equação que aparece em \mathcal{C}_{2}. Uma hipérbole centrada em (h,k) com o termo positivo no quadrado de y tem a forma
-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1.
Explicando essa forma, devagarinho:
  • (h,k) é o centro da hipérbole (é o ponto que aparece nas translações (x-h) e (y-k)).
  • O denominador a^{2} está junto do termo positivo (y-k)^{2}; o número a=\sqrt{a^{2}} é a semi‑“distância” do centro até cada vértice ao longo do eixo transverso (aqui, eixo vertical).
  • O denominador b^{2} está junto do termo negativo (x-h)^{2}; b=\sqrt{b^{2}} é a semi‑“distância” ao longo do eixo conjugado (horizontal).
  • Os focos ficam no mesmo eixo que os vértices (o eixo transverso). Chamamos c a distância do centro a cada foco; para essa forma vale a relação
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Essa relação é uma propriedade padrão das hipérboles na forma apresentada; usamos ela para calcular a posição dos focos a partir de a e b.

Passo 3

Aplicando a identificação da forma geral em \mathcal{C}_{2}:
-\frac{(x+3)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{5}=1,
comparando com
-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1,
vemos explicitamente:
  • o centro é (h,k)=(-3,2) porque aparecem (x+3) e (y-2);
  • a^{2}=5 (denominador do termo positivo em y), logo a=\sqrt{5};
  • b^{2}=4 (denominador do termo de x), logo b=2.

Passo 4

Calculemos c usando a relação c^{2}=a^{2}+b^{2}. Substituindo os valores:
c^{2}=5+4=9,
portanto
c=3.
Isso significa que, medindo a partir do centro (-3,2), os focos estão a uma distância 3 ao longo do eixo transverso (vertical) e os vértices a uma distância a=\sqrt{5}.

Passo 5

Agora escrevemos as coordenadas do centro, dos vértices e dos focos:
  • Centro: (-3,2) (já identificado no Passo 3).
  • Vértices: (-3,\,2\pm\sqrt{5}). Explicitamente são os pontos (-3,\,2+\sqrt{5}) e (-3,\,2-\sqrt{5}).
  • Focos: (-3,\,2\pm 3). Explicitamente são os pontos (-3,\,5) e (-3,\,-1).

Passo 6

Observando as coordenadas acima vemos que o centro, ambos os vértices e ambos os focos têm todas a mesma abscissa x=-3. Portanto esses pontos estão alinhados numa reta vertical cuja equação é simplesmente
x=-3.
Intuitivamente: quando o termo em y é o positivo na forma padrão, o eixo transverso é vertical; ao transladar a hipérbole para o centro (h,k) esse eixo vertical fica na reta x=h. Aqui h=-3.

Resposta

x=-3

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