Sejam
e
. Determine a transformada inversa de Laplace da função:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a transformada inversa de Laplace da função
Informações dadas que vamos usar:
A tarefa é encontrar
, ou seja, escrever
explicitamente em função de
. Nada mais é pedido.
Passo 2
Primeiro passo técnico: decompor
em termos mais simples (já feito acima). Vamos inverter a transformada termo a termo:
A ideia é inverter
e
separadamente.
Passo 3
Lembrete importante (fórmula que usaremos) — transformada de Laplace da função seno:
onde
é uma constante positiva. Aqui a definição de transformada de Laplace é
mas para a fórmula acima já podemos confiar no resultado padrão: por exemplo, se
então
. Isso é útil para reconhecer inversas.
Passo 4
Usando a fórmula do passo anterior, temos
Dividindo ambos os lados por
obtemos
Portanto a inversa da primeira parcela é
Passo 5
Agora a ferramenta para a segunda parcela: o teorema do deslocamento no tempo. Ele diz que, se
então
onde
é a função degrau unitário (Heaviside), definida por
para
e
para
. A inversa correspondente é
Intuição rápida: multiplicar por
no domínio
desloca a função no tempo para a direita por
.
Passo 6
Aplicando o teorema do deslocamento com
e
(cuja inversa já sabemos ser
), obtemos
Então a inversa da segunda parcela é essa função retardada multiplicada pelo degrau.
Passo 7
Juntando os dois resultados (subtraindo a segunda parcela da primeira), temos
Passo 8
Podemos simplificar mais usando a periodicidade do seno. Lembrando que
porque o seno tem período
. Aqui
Portanto a expressão anterior fica
Passo 9
Fatorando
Em forma peça-a-peça (que é muito útil em provas):
Nota: em
porque
, então ambas as expressões coincidem.]