Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
Você pediu a transformada de Laplace da função
.\n
Informações dadas: onde
é a distribuição delta de Dirac e o deslocamento é em
.\n
O que se pede: calcular e apresentar o resultado final.
Informações dadas:
O que se pede: calcular
Passo 2
Lembrete básico e ferramenta principal (aula rápida e prática): a transformada de Laplace de uma função
é definida por
, onde
é a variável complexa da transformada.\n
Sobre o impulso de Dirac: a propriedade de “peneiração” (sifting property) diz que, para e para qualquer função suficientemente bem comportada
, vale
desde que
esteja no intervalo de integração. Isso é essencial para integrar produtos com
.
Sobre o impulso de Dirac: a propriedade de “peneiração” (sifting property) diz que, para
Passo 3
Aplicando a definição da transformada diretamente ao nosso
:
\n
Agora usamos a propriedade de sifting mencionada com e
. Como
está em
, a integral fica simplesmente
. Logo
Agora usamos a propriedade de sifting mencionada com
Passo 4
Interpretação alternativa (útil para prova): na teoria de distribuições vale a identidade
, porque ao integralizar contra qualquer função teste
obtemos o mesmo resultado:
Assim a transformada também é .
Assim a transformada também é
Passo 5
Verificação extra usando uma propriedade de transformadas (cheque rápido): se
então
. Tomando
temos
. Derivando,
o que confirma o resultado obtido no passo anterior.
o que confirma o resultado obtido no passo anterior.
Passo 6
Observação sobre região de convergência: a expressão final
é uma função inteira de
(não tem divergência por decaimento), portanto a transformada converge para todo
.