Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=t \cdot \delta(t-2)

Passo 1

Você pediu a transformada de Laplace da função \;f(t)=t\cdot\delta(t-2).\n
Informações dadas: \;f(t)=t\cdot\delta(t-2) onde \delta é a distribuição delta de Dirac e o deslocamento é em t=2.\n
O que se pede: calcular \mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt e apresentar o resultado final.

Passo 2

Lembrete básico e ferramenta principal (aula rápida e prática): a transformada de Laplace de uma função g(t) é definida por \;\mathcal{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} g(t)\,dt, onde s é a variável complexa da transformada.\n
Sobre o impulso de Dirac: a propriedade de “peneiração” (sifting property) diz que, para a\ge 0 e para qualquer função suficientemente bem comportada \varphi(t), vale
\displaystyle \int_{0}^{\infty} \varphi(t)\,\delta(t-a)\,dt=\varphi(a) desde que a esteja no intervalo de integração. Isso é essencial para integrar produtos com \delta.

Passo 3

Aplicando a definição da transformada diretamente ao nosso f:
\displaystyle \mathcal{L}\{t\cdot\delta(t-2)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,t\,\delta(t-2)\,dt.\n
Agora usamos a propriedade de sifting mencionada com \varphi(t)=e^{-st}t e a=2. Como 2 está em [0,\infty), a integral fica simplesmente \varphi(2). Logo
\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-st}\,t\,\delta(t-2)\,dt = e^{-2s}\cdot 2.

Passo 4

Interpretação alternativa (útil para prova): na teoria de distribuições vale a identidade \;t\,\delta(t-2)=2\,\delta(t-2), porque ao integralizar contra qualquer função teste \varphi obtemos o mesmo resultado:
\displaystyle \int \varphi(t)\,t\,\delta(t-2)\,dt = 2\varphi(2)=\int \varphi(t)\,2\,\delta(t-2)\,dt.
Assim a transformada também é \mathcal{L}\{2\,\delta(t-2)\}(s)=2\,e^{-2s}.

Passo 5

Verificação extra usando uma propriedade de transformadas (cheque rápido): se \mathcal{L}\{g\}(s)=G(s) então \mathcal{L}\{t\,g(t)\}(s)=-G'(s). Tomando g(t)=\delta(t-2) temos G(s)=e^{-2s}. Derivando,
\displaystyle -G'(s)=-\frac{d}{ds}e^{-2s}=2e^{-2s},
o que confirma o resultado obtido no passo anterior.

Passo 6

Observação sobre região de convergência: a expressão final \;2e^{-2s} é uma função inteira de s (não tem divergência por decaimento), portanto a transformada converge para todo s\in\mathbb{C}.

Resposta

2e^{-2s}

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