Calcule a integral dupla \iint_{0}(\sin (x) y) d A, onde D é região limitada pela parábola y=x^{2} e a reta y=4 entre
x=0 e x=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função \sin(x)\,y sobre a região D limitada pela parábola y=x^{2} e pela reta y=4 entre x=0 e x=2.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função a integrar é \sin(x)\,y.\n
  • A região D é delimitada por y=x^{2} (abaixo) e y=4 (acima), com x variando de 0 até 2.\n
  • Não há indicação de trocar a ordem de integração, então vamos usar a ordem natural dy\,dx (primeiro em y, depois em x).\n

Passo 2

Vamos traduzir a descrição da região D para limites de integração.\n
Para um x fixo entre 0 e 2, y varia do valor mais baixo y=x^{2} até o mais alto y=4. Logo, o iterado é
\iint_{D} \sin(x)\,y\,dA \;=\; \int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=x^{2}}^{4} y\sin(x)\,dy\right)dx.
Aqui usei a fórmula de integração iterada: integrar primeiro em y com x tratado como constante, depois integrar o resultado em x.

Passo 3

Explico a técnica que vamos usar no passo interior: ao integrar em y com x fixo, \sin(x) é constante (pois depende só de x). Então
\int_{y=x^{2}}^{4} y\sin(x)\,dy = \sin(x)\int_{y=x^{2}}^{4} y\,dy.
A integral \int y\,dy é a primitiva y^{2}/2. Sempre que eu usar uma primitiva, significa uma função cuja derivada é a integranda.

Passo 4

Calculo explícito da integral interior:
\int_{y=x^{2}}^{4} y\sin(x)\,dy = \sin(x)\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{y=x^{2}}^{y=4} = \sin(x)\left(\frac{4^{2}}{2}-\frac{(x^{2})^{2}}{2}\right).
Simplificando os termos:
\frac{4^{2}}{2}=\frac{16}{2}=8,\qquad \frac{(x^{2})^{2}}{2}=\frac{x^{4}}{2},
portanto
\int_{y=x^{2}}^{4} y\sin(x)\,dy = \sin(x)\left(8-\frac{x^{4}}{2}\right).

Passo 5

Agora substituímos no integral externo em x:
\iint_{D} \sin(x)\,y\,dA = \int_{0}^{2} \left(8\sin(x)-\frac{1}{2}x^{4}\sin(x)\right)\,dx.
Vamos separar em duas integrais simples:
\int_{0}^{2} 8\sin(x)\,dx \quad\text{e}\quad \int_{0}^{2} \frac{1}{2}x^{4}\sin(x)\,dx.

Passo 6

Calculo da primeira integral, que é direta:
\int_{0}^{2} 8\sin(x)\,dx = 8\int_{0}^{2}\sin(x)\,dx = 8\big[-\cos(x)\big]_{0}^{2} = 8\big(-\cos 2 + \cos 0\big).
Como \cos 0 = 1, temos
\int_{0}^{2} 8\sin(x)\,dx = 8(1-\cos 2).

Passo 7

A segunda integral exige integração por partes. Vou calcular
I=\int_{0}^{2} x^{4}\sin(x)\,dx.
Lembrando a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde escolhemos u para simplificar ao derivar e dv para que possamos integrar facilmente.

Passo 8

Aplicando integração por partes sucessivas para I.
  1. Primeira aplicação: escolha u=x^{4}, dv=\sin x\,dx. Então du=4x^{3}\,dx e v=-\cos x. Assim
I = -x^{4}\cos x + \int 4x^{3}\cos x\,dx.
  1. Para \int x^{3}\cos x\,dx (chamo de I_{3c}), use u=x^{3}, dv=\cos x\,dx. Então du=3x^{2}\,dx, v=\sin x. Assim
I_{3c} = x^{3}\sin x - \int 3x^{2}\sin x\,dx.
  1. Para \int x^{2}\sin x\,dx (chamo de I_{2s}), use u=x^{2}, dv=\sin x\,dx. Então du=2x\,dx, v=-\cos x. Assim
I_{2s} = -x^{2}\cos x + \int 2x\cos x\,dx.
  1. Para \int x\cos x\,dx (chamo de I_{1c}), use u=x, dv=\cos x\,dx. Então du=dx, v=\sin x. Assim
I_{1c} = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x.

Passo 9

Agora retorno e retiro esses resultados passo a passo:
  • De I_{1c} temos \int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x.
  • Então
I_{2s} = -x^{2}\cos x + 2\big(x\sin x + \cos x\big) = -x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x.
  • Em seguida
I_{3c} = x^{3}\sin x - 3I_{2s} = x^{3}\sin x -3\big(-x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x\big).
Simplificando,
I_{3c} = x^{3}\sin x +3x^{2}\cos x -6x\sin x -6\cos x.
  • Finalmente, voltando a I:
I = -x^{4}\cos x + 4I_{3c} = -x^{4}\cos x +4\big(x^{3}\sin x +3x^{2}\cos x -6x\sin x -6\cos x\big).
Distribuindo:
I = -x^{4}\cos x +4x^{3}\sin x +12x^{2}\cos x -24x\sin x -24\cos x.

Passo 10

Agora avaliamos a primitiva encontrada entre 0 e 2. Seja F(x) a expressão obtida:
F(x) = -x^{4}\cos x +4x^{3}\sin x +12x^{2}\cos x -24x\sin x -24\cos x.
Calculamos F(2) e F(0).
  • Em x=2:
F(2) = -16\cos 2 + 32\sin 2 + 48\cos 2 -48\sin 2 -24\cos 2.
Agrupando termos em \cos 2 e \sin 2:
\cos 2\text{: } -16 +48 -24 = 8,\qquad \sin 2\text{: } 32 -48 = -16.
Portanto
F(2) = 8\cos 2 -16\sin 2.
  • Em x=0: note que \sin 0=0, \cos 0=1. Substituindo,
F(0) = -0 +0 +0 -0 -24\cdot 1 = -24.
Então a integral I vale
I = F(2)-F(0) = \big(8\cos 2 -16\sin 2\big) - (-24) = 8\cos 2 -16\sin 2 +24.

Passo 11

Voltamos à integral original:
\iint_{D} \sin(x)\,y\,dA = 8\int_{0}^{2}\sin x\,dx - \frac{1}{2}\int_{0}^{2} x^{4}\sin x\,dx.
Substituindo os resultados:
8\int_{0}^{2}\sin x\,dx = 8(1-\cos 2),
e
\int_{0}^{2} x^{4}\sin x\,dx = 24 + 8\cos 2 -16\sin 2.
Logo
\iint_{D} \sin(x)\,y\,dA = 8(1-\cos 2) - \frac{1}{2}\big(24 + 8\cos 2 -16\sin 2\big).

Passo 12

Finalmente simplificamos a expressão passo a passo:
8(1-\cos 2) = 8 -8\cos 2,
e
\frac{1}{2}\big(24 + 8\cos 2 -16\sin 2\big) = 12 +4\cos 2 -8\sin 2.
Subtraindo:
8 -8\cos 2 - (12 +4\cos 2 -8\sin 2) = 8 -8\cos 2 -12 -4\cos 2 +8\sin 2.
Agrupando termos:
(8-12) + (-8\cos 2 -4\cos 2) + 8\sin 2 = -4 -12\cos 2 +8\sin 2.
Reescrevendo numa forma mais habitual,
\iint_{D} \sin(x)\,y\,dA = 8\sin 2 -12\cos 2 -4.

Resposta

8\sin 2 -12\cos 2 -4

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