Calcule a integral dupla
, onde D é região limitada pela parábola
e a reta
entre
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla da função
sobre a região
limitada pela parábola
e pela reta
entre
e
.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função a integrar é
.\n - A região
é delimitada por (abaixo) e (acima), com variando de até .\n - Não há indicação de trocar a ordem de integração, então vamos usar a ordem natural
(primeiro em , depois em ).\n
Passo 2
Vamos traduzir a descrição da região
para limites de integração.\n
Para um fixo entre
e
,
varia do valor mais baixo
até o mais alto
. Logo, o iterado é
Para um
Aqui usei a fórmula de integração iterada: integrar primeiro em
com
tratado como constante, depois integrar o resultado em
.
Passo 3
Explico a técnica que vamos usar no passo interior: ao integrar em
com
fixo,
é constante (pois depende só de
). Então
A integral
é a primitiva
. Sempre que eu usar uma primitiva, significa uma função cuja derivada é a integranda.
Passo 4
Calculo explícito da integral interior:
Simplificando os termos:
portanto
Passo 5
Agora substituímos no integral externo em
:
Vamos separar em duas integrais simples:
Passo 6
Calculo da primeira integral, que é direta:
Como
, temos
Passo 7
A segunda integral exige integração por partes. Vou calcular
Lembrando a fórmula de integração por partes:
onde escolhemos
para simplificar ao derivar e
para que possamos integrar facilmente.
Passo 8
Aplicando integração por partes sucessivas para
.
- Primeira aplicação: escolha
, . Então e . Assim
- Para
(chamo de ), use , . Então , . Assim
- Para
(chamo de ), use , . Então , . Assim
- Para
(chamo de ), use , . Então , . Assim
Passo 9
Agora retorno e retiro esses resultados passo a passo:
-
De
temos -
Então
- Em seguida
Simplificando,
- Finalmente, voltando a
:
Distribuindo:
Passo 10
Agora avaliamos a primitiva encontrada entre
e
. Seja
a expressão obtida:
Calculamos
e
.
- Em
:
Agrupando termos em
e
:
Portanto
- Em
: note que , . Substituindo,
Então a integral
vale
Passo 11
Voltamos à integral original:
Substituindo os resultados:
e
Logo
Passo 12
Finalmente simplificamos a expressão passo a passo:
e
Subtraindo:
Agrupando termos:
Reescrevendo numa forma mais habitual,