Sejam F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Determine a transformada inversa de Laplace da função:
Y(s)=\frac{3}{(s-1)\left(s^{2}+4\right)} .)

Passo 1

O enunciado nos dá a função no domínio de s
Y(s)=\frac{3}{(s-1)\left(s^{2}+4\right)}
e pede a transformada inversa de Laplace, isto é, encontrar y(t) tal que
Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.
Informações relevantes dadas: o denominador é o produto de um fator linear (s-1) e um fator quadrático irreduzível (s^{2}+4). A incógnita é a função y(t) no tempo.

Passo 2

Método escolhido: decomposição em frações parciais. Motivação (didática): quando temos um racional em s cujo denominador fatora em polinômios simples, é natural escrever Y(s) como soma de termos mais simples cuja transformada inversa é conhecida. Para um fator linear usamos uma constante no numerador; para um fator quadrático irreduzível usamos um numerador linear. Isso permite inverter cada parcela usando tabelas básicas das transformadas. Vou mostrar por que o numerador do termo quadrático precisa ser linear e como resolver os coeficientes.

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais com coeficientes desconhecidos:
\frac{3}{(s-1)(s^{2}+4)}=\frac{A}{s-1}+\frac{Bs+C}{s^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s^{2}+4) obtemos a identidade polinomial
3 = A(s^{2}+4) + (Bs+C)(s-1).
Agora vamos expandir e agrupar termos por potências de s.

Passo 4

Expandindo o lado direito:
A(s^{2}+4) + (Bs+C)(s-1)=A s^{2}+4A + B s^{2} - B s + C s - C.
Agrupando coeficientes por s^{2}\), \(s\) e termo constante: \[3 = (A+B)s^{2} + (-B+C)s + (4A - C).
Igualando coeficientes das potências de s (como ambos os lados são polinômios iguais para todo s):
\begin{cases} A+B = 0,\\[4pt] -\,B + C = 0,\\[4pt] 4A - C = 3. \end{cases}
Da primeira equação B=-A\]. Da segunda \(C=B=-A. Substituindo na terceira:
4A - (-A)=3 \quad\Rightarrow\quad 5A=3 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{3}{5}.
Então
B=-\frac{3}{5},\qquad C=-\frac{3}{5}.]

Passo 5

Substituindo os coeficientes na decomposição obtemos
Y(s)=\frac{\frac{3}{5}}{s-1}+\frac{-\frac{3}{5}s-\frac{3}{5}}{s^{2}+4}.
Fatorando -\frac{3}{5} no segundo termo:
Y(s)=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{s-1}-\frac{3}{5}\cdot\frac{s+1}{s^{2}+4}.
Agora vamos usar pares básicos de transformadas inversas. Lembrete das fórmulas que usaremos:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at},
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}\right\}=\cos(\omega t),
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+\omega^{2}}\right\}=\frac{1}{\omega}\sin(\omega t).
Aqui \omega=2 porque s^{2}+4=s^{2}+2^{2}.

Passo 6

Aplicando a linearidade e as fórmulas termo a termo:
  1. Para o primeiro termo:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{s-1}\right\}=\frac{3}{5}e^{t}.
  1. Para o segundo termo, separamos
-\frac{3}{5}\cdot\frac{s+1}{s^{2}+4}=-\frac{3}{5}\cdot\frac{s}{s^{2}+4}-\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{s^{2}+4}.
Aplicando as inversas:
\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{3}{5}\cdot\frac{s}{s^{2}+4}\right\}=-\frac{3}{5}\cos(2t),
\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{s^{2}+4}\right\}=-\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}\sin(2t)=-\frac{3}{10}\sin(2t).

Passo 7

Somando os termos invertidos obtemos a solução no tempo:
y(t)=\frac{3}{5}e^{t}-\frac{3}{5}\cos(2t)-\frac{3}{10}\sin(2t).
Essa é a transformada inversa solicitada. Vai dar tudo certo na prova — respira, revise os passos e pratique um ou dois exemplos semelhantes.

Resposta

y(t)=\frac{3}{5}e^{t}-\frac{3}{5}\cos(2t)-\frac{3}{10}\sin(2t)

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