Sejam F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Determine a transformada inversa de Laplace da função: Y(s)=\frac{3}{(s-1)\left(s^{2}+4\right)} .)
Passo 1
O enunciado nos dá a função no domínio de s
Y(s)=\frac{3}{(s-1)\left(s^{2}+4\right)}
e pede a transformada inversa de Laplace, isto é, encontrar y(t) tal que
Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.
Informações relevantes dadas: o denominador é o produto de um fator linear (s-1) e um fator quadrático irreduzível (s^{2}+4). A incógnita é a função y(t) no tempo.
Passo 2
Método escolhido: decomposição em frações parciais. Motivação (didática): quando temos um racional em s cujo denominador fatora em polinômios simples, é natural escrever Y(s) como soma de termos mais simples cuja transformada inversa é conhecida. Para um fator linear usamos uma constante no numerador; para um fator quadrático irreduzível usamos um numerador linear. Isso permite inverter cada parcela usando tabelas básicas das transformadas. Vou mostrar por que o numerador do termo quadrático precisa ser linear e como resolver os coeficientes.
Passo 3
Escrevemos a decomposição em frações parciais com coeficientes desconhecidos: