Exercício 5. Usando o teorema da convolução, obtenha:
\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{\left(s^{2}+1\right)^{2}}\right]

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a transformada inversa de Laplace da função
\frac{1}{\left(s^{2}+1\right)^{2}}.
Informações dadas: a expressão no domínio de s é exatamente \frac{1}{\left(s^{2}+1\right)^{2}}. A pergunta é: qual é a função de tempo f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{1}{\left(s^{2}+1\right)^{2}}?
Não foram fornecidos outros dados nem condições especiais além das usuais (assumimos t\ge0).

Passo 2

Escolha do método. O enunciado já sugere “Usando o teorema da convolução”, então vamos usá-lo. Vou explicar o que é esse teorema de forma bem clara: se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s) e G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s), então
\mathcal{L}\{(f*g)(t)\}(s)=F(s)\,G(s),
onde o produto de transformadas corresponde à convolução no tempo, e a convolução é definida por
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Por consequência, a transformada inversa de um produto F(s)G(s) é a convolução das transformadas inversas individuais:
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\}=(f*g)(t).
Isso significa que se conseguirmos escrever \frac{1}{(s^2+1)^2} como um produto de duas transformadas conhecidas, a inversa é a convolução das correspondentes funções de tempo.

Passo 3

Fatoramos a função no domínio de s como produto idêntico:
\frac{1}{(s^2+1)^2}=\frac{1}{s^2+1}\cdot\frac{1}{s^2+1}.
Agora identificamos a transformada inversa conhecida de cada fator. Lembrete de transformada básica: para t\ge0
\mathcal{L}\{\sin t\}(s)=\frac{1}{s^{2}+1}.
Aqui s é a variável do domínio da transformada e t é a variável do tempo. Portanto cada fator \frac{1}{s^2+1} corresponde à função tempo \sin t.

Passo 4

Aplicando o teorema da convolução: a transformada inversa procurada é a convolução de \sin t consigo mesma:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s^2+1)^2}\right\}=(\sin*\sin)(t)=\int_{0}^{t}\sin(\tau)\,\sin(t-\tau)\,d\tau.
Agora vamos calcular explicitamente essa integral. Estamos assumindo t\ge0.

Passo 5

Para integrar a função produto de senos, usamos uma identidade trigonométrica que simplifica produtos em soma de cossenos:
\sin A\,\sin B=\tfrac{1}{2}\big(\cos(A-B)-\cos(A+B)\big).
Aplicando com A=\tau e B=t-\tau, obtemos
\sin(\tau)\sin(t-\tau)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(2\tau-t)-\cos t\big),
pois A-B=\tau-(t-\tau)=2\tau-t e A+B=\tau+(t-\tau)=t.

Passo 6

Substituindo a identidade na integral da convolução:
\int_{0}^{t}\sin(\tau)\sin(t-\tau)\,d\tau=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{t}\big(\cos(2\tau-t)-\cos t\big)\,d\tau.
Separamos as integrais:
\tfrac{1}{2}\left(\int_{0}^{t}\cos(2\tau-t)\,d\tau-\int_{0}^{t}\cos t\,d\tau\right).
A segunda integral é direta, \cos t é constante em \tau:
\int_{0}^{t}\cos t\,d\tau = t\cos t.

Passo 7

Agora a primeira integral. Faço a substituição u=2\tau-t, então du=2\,d\tau e d\tau=\tfrac{1}{2}du. Quando \tau=0 temos u=-t; quando \tau=t temos u=t. Portanto
\int_{0}^{t}\cos(2\tau-t)\,d\tau=\int_{-t}^{t}\cos u\cdot\tfrac{1}{2}\,du=\tfrac{1}{2}\int_{-t}^{t}\cos u\,du.
Como \cos u é função par, \int_{-t}^{t}\cos u\,du=2\int_{0}^{t}\cos u\,du=2\sin t. Assim
\int_{0}^{t}\cos(2\tau-t)\,d\tau=\tfrac{1}{2}\cdot 2\sin t=\sin t.

Passo 8

Substituindo os resultados das integrais no passo anterior:
\int_{0}^{t}\sin(\tau)\sin(t-\tau)\,d\tau=\tfrac{1}{2}\big(\sin t - t\cos t\big).
Esse é o resultado da convolução, ou seja, a transformada inversa de \frac{1}{(s^2+1)^2} é a função de tempo obtida acima.

Passo 9

Breve verificação (opcional, só para segurança): aplicando \mathcal{L} em \tfrac{1}{2}(\sin t - t\cos t) e usando propriedades conhecidas (por exemplo \mathcal{L}\{\sin t\}=\tfrac{1}{s^2+1} e \mathcal{L}\{t\cos t\}=-\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{\cos t\}=-\frac{d}{ds}\frac{s}{s^2+1}), obtém-se \frac{1}{(s^2+1)^2}, confirmando que o resultado está correto.

Resposta

\tfrac{1}{2}\big(\sin t - t\cos t\big)

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