Exercício 5. Usando o teorema da convolução, obtenha:
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre a transformada inversa de Laplace da função
Informações dadas: a expressão no domínio de
é exatamente
. A pergunta é: qual é a função de tempo
tal que
?
Não foram fornecidos outros dados nem condições especiais além das usuais (assumimos ).
Não foram fornecidos outros dados nem condições especiais além das usuais (assumimos
Passo 2
Escolha do método. O enunciado já sugere “Usando o teorema da convolução”, então vamos usá-lo. Vou explicar o que é esse teorema de forma bem clara: se
e
, então
onde o produto de transformadas corresponde à convolução no tempo, e a convolução é definida por
Por consequência, a transformada inversa de um produto
é a convolução das transformadas inversas individuais:
Isso significa que se conseguirmos escrever
como um produto de duas transformadas conhecidas, a inversa é a convolução das correspondentes funções de tempo.
Passo 3
Fatoramos a função no domínio de
como produto idêntico:
Agora identificamos a transformada inversa conhecida de cada fator. Lembrete de transformada básica: para
Aqui
é a variável do domínio da transformada e
é a variável do tempo. Portanto cada fator
corresponde à função tempo
.
Passo 4
Aplicando o teorema da convolução: a transformada inversa procurada é a convolução de
consigo mesma:
Agora vamos calcular explicitamente essa integral. Estamos assumindo
.
Passo 5
Para integrar a função produto de senos, usamos uma identidade trigonométrica que simplifica produtos em soma de cossenos:
Aplicando com
e
, obtemos
pois
e
.
Passo 6
Substituindo a identidade na integral da convolução:
Separamos as integrais:
A segunda integral é direta,
é constante em
:
Passo 7
Agora a primeira integral. Faço a substituição
, então
e
. Quando
temos
; quando
temos
. Portanto
Como
é função par,
. Assim
Passo 8
Substituindo os resultados das integrais no passo anterior:
Esse é o resultado da convolução, ou seja, a transformada inversa de
é a função de tempo obtida acima.
Passo 9
Breve verificação (opcional, só para segurança): aplicando
em
e usando propriedades conhecidas (por exemplo
e
), obtém-se
, confirmando que o resultado está correto.