Sejam F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Determine a transformada inversa de Laplace da função:
F(s)=\frac{2 s-5}{s\left(s^{2}+s-12\right)} .

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dá a função no domínio de Laplace \displaystyle F(s)=\frac{2s-5}{s\left(s^{2}+s-12\right)}.
  • Pede a transformada inversa de Laplace, isto é, encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
    Informações úteis extraídas do enunciado:
  • O denominador pode ser escrito como produto de fatores lineares porque \displaystyle s^{2}+s-12=(s+4)(s-3).
  • Logo os polos (raízes do denominador) são s=0,\;s=-4,\;s=3.

Passo 2

Ideia e ferramentas básicas (rápida explicação didática):
  • A transformada inversa de Laplace é linear, então se escrevemos F(s) como soma de frações simples cuja inversa conhecemos, basta inverter termo a termo.
  • Pares imediatos que vamos usar: \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}\quad\Rightarrow\quad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}\quad\Rightarrow\quad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}.
  • Como o denominador tem três fatores lineares distintos ( s, s+4, s-3), usamos decomposição em frações parciais no formato \frac{2s-5}{s(s+4)(s-3)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+4}+\frac{C}{s-3},com A,B,C constantes a determinar. Isso facilita porque cada termo corresponde a uma função simples no tempo.

Passo 3

Montagem da igualdade para determinar A,B,C:
Multiplicando por s(s+4)(s-3) obtemos
2s-5 = A(s+4)(s-3) + B\,s(s-3) + C\,s(s+4).
Uma forma simples e direta de achar A,B,C é avaliar essa igualdade em valores de s que anulam fatores: s=0,\;s=3,\;s=-4 (método de “cover-up” / substituição direta).

Passo 4

Cálculo de A usando s=0:
Substituindo s=0 na igualdade temos
2\cdot 0 -5 = A(0+4)(0-3) \quad\Rightarrow\quad -5 = A\cdot(-12).
Logo
A=\frac{5}{12}.

Passo 5

Cálculo de C usando s=3:
Substituindo s=3 temos
2\cdot 3 -5 = C\cdot 3(3+4) \quad\Rightarrow\quad 1 = C\cdot 21,
logo
C=\frac{1}{21}.

Passo 6

Cálculo de B usando s=-4:
Substituindo s=-4 temos
2(-4)-5 = B\cdot (-4)(-4-3) \quad\Rightarrow\quad -8-5 = B\cdot 28,
ou seja
-13 = 28B \quad\Rightarrow\quad B=-\frac{13}{28}.

Passo 7

Escrevendo a decomposição parcial completa (confirmação):
Substituindo A,B,C encontramos
\frac{2s-5}{s(s+4)(s-3)}=\frac{5}{12}\cdot\frac{1}{s}-\frac{13}{28}\cdot\frac{1}{s+4}+\frac{1}{21}\cdot\frac{1}{s-3}.
Podemos verificar rapidamente somando os coeficientes ou recompunando, mas os valores estão consistentes com as substituições feitas.

Passo 8

Aplicando a transformada inversa termo a termo (usando linearidade e os pares básicos):
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{5}{12}\cdot\dfrac{1}{s}\right\}=\dfrac{5}{12}\cdot 1=\dfrac{5}{12}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\dfrac{13}{28}\cdot\dfrac{1}{s+4}\right\}=-\dfrac{13}{28}e^{-4t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{21}\cdot\dfrac{1}{s-3}\right\}=\dfrac{1}{21}e^{3t}.
Somando os termos obtemos a solução no tempo:
f(t)=\frac{5}{12}-\frac{13}{28}e^{-4t}+\frac{1}{21}e^{3t}.

Resposta

f(t)=\frac{5}{12}-\frac{13}{28}e^{-4t}+\frac{1}{21}e^{3t}

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