Sejam
e
. Determine a transformada inversa de Laplace da função:
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dá a função no domínio de Laplace
. - Pede a transformada inversa de Laplace, isto é, encontrar
.
Informações úteis extraídas do enunciado: - O denominador pode ser escrito como produto de fatores lineares porque
. - Logo os polos (raízes do denominador) são
.
Passo 2
Ideia e ferramentas básicas (rápida explicação didática):
- A transformada inversa de Laplace é linear, então se escrevemos
como soma de frações simples cuja inversa conhecemos, basta inverter termo a termo. - Pares imediatos que vamos usar:
- Como o denominador tem três fatores lineares distintos (
, , ), usamos decomposição em frações parciais no formato com constantes a determinar. Isso facilita porque cada termo corresponde a uma função simples no tempo.
Passo 3
Montagem da igualdade para determinar
:
Multiplicando por obtemos
Multiplicando por
Uma forma simples e direta de achar
é avaliar essa igualdade em valores de
que anulam fatores:
(método de “cover-up” / substituição direta).
Passo 4
Cálculo de
usando
:
Substituindo na igualdade temos
Substituindo
Logo
Passo 5
Cálculo de
usando
:
Substituindo temos
Substituindo
logo
Passo 6
Cálculo de
usando
:
Substituindo temos
Substituindo
ou seja
Passo 7
Escrevendo a decomposição parcial completa (confirmação):
Substituindo encontramos
Substituindo
Podemos verificar rapidamente somando os coeficientes ou recompunando, mas os valores estão consistentes com as substituições feitas.
Passo 8
Aplicando a transformada inversa termo a termo (usando linearidade e os pares básicos):
Somando os termos obtemos a solução no tempo: