Exercício 2. Calcule:
\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{(s+2)^{3}}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa
\mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{1}{(s+2)^{3}}\right].
Informações dadas: a expressão no domínio de s é \dfrac{1}{(s+2)^{3}}. A pergunta é: qual função de t tem Laplace igual a essa expressão?

Passo 2

Plano de ataque (curto e prático): reconhecer a forma \dfrac{1}{(s+2)^{3}} como um deslocamento em s de \dfrac{1}{s^{3}}, e usar duas fórmulas padrões de Laplace que você deve dominar:
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}\quad\text{(para \(n\) inteiro não-negativo)}ã
e o teorema do deslocamento (shift):
\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)\quad\text{se }\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).
Vou explicar e aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Prova rápida e intuitiva da fórmula \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}.
Definição da transformada de Laplace:
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\int_{0}^{\infty} t^{n} e^{-st}\,dt.
Fazendo a substituição u=st (logo t=u/s e dt=du/s) obtemos
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\int_{0}^{\infty} \left(\frac{u}{s}\right)^{n} e^{-u}\frac{du}{s} =\frac{1}{s^{n+1}}\int_{0}^{\infty} u^{n} e^{-u}\,du.
A integral \displaystyle\int_{0}^{\infty} u^{n} e^{-u}\,du é a função Gamma em n+1, que para inteiro n vale \Gamma(n+1)=n!. Logo
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso n=2:
\mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}}.
Daí segue que
\mathcal{L}\left\{\frac{t^{2}}{2}\right\}=\frac{1}{s^{3}}.

Passo 5

Agora usamos o teorema do deslocamento (shift). Se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) então \mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a).
Observe que
\frac{1}{(s+2)^{3}}=\left.\frac{1}{s^{3}}\right|_{s\mapsto s+2},
ou seja, é F(s-(-2)) com F(s)=1/s^{3}. Portanto a função no tempo correspondente é e^{-2t} vezes a função cuja transformada é 1/s^{3}, que encontramos no passo anterior como \dfrac{t^{2}}{2}. Assim
\mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{1}{(s+2)^{3}}\right]=e^{-2t}\cdot\frac{t^{2}}{2}.

Passo 6

Verificação rápida (confirmação): aplicando a transformada de Laplace em \dfrac{t^{2}}{2}e^{-2t} e usando o shift, temos \mathcal{L}\{\tfrac{t^{2}}{2}\}=1/s^{3} e deslocando s\mapsto s+2 obtemos \dfrac{1}{(s+2)^{3}}, ou seja, bate certinho.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\,t^{2}e^{-2t}

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