Sejam \mathrm{A}, \mathrm{B} e C subconjuntos do conjunto universo \Omega. Prove que se tem:
A-(C \cup B)=(A-C) \cap(A-B)

Passo 1

O enunciado dá três subconjuntos do universo \Omega: A, B e C. Pede para provar a igualdade
A-(C \cup B)=(A-C) \cap(A-B).
Informações relevantes que temos: A, B e C são conjuntos quaisquer (subconjuntos de \Omega). A expressão envolve operações básicas de conjuntos: diferença, união e interseção. O objetivo é mostrar que os dois conjuntos indicados são iguais.

Passo 2

Vou lembrar e explicar as definições que usaremos — passo essencial para a prova elementar por inclusão de elementos.
Definições:
X-Y=\{\,x\in X \mid x\notin Y\,\}
ou seja, x\in X-Y significa que x\in X e simultaneamente x\notin Y.
X\cup Y=\{\,x \mid x\in X \text{ ou } x\in Y\,\}
X\cap Y=\{\,x \mid x\in X \text{ e } x\in Y\,\}
Uma lei lógica útil (Lei de De Morgan para pertencer): para um elemento x,
x\notin (C\cup B)\quad\Longleftrightarrow\quad (x\notin C)\\ \text{e}\\ (x\notin B).
Isto é só a tradução em linguagem de pertença da negação da disjunção.

Passo 3

Estratégia de prova (clássica e simples): provar inclusão dupla. Ou seja, mostrar primeiro
A-(C\cup B)\subseteq (A-C)\cap(A-B)
e depois
(A-C)\cap(A-B)\subseteq A-(C\cup B).
Se cada conjunto está contido no outro, então eles são iguais.

Passo 4

Prova de A-(C\cup B)\subseteq (A-C)\cap(A-B).
Seja um elemento arbitrário x tal que x\in A-(C\cup B).
Pelo significado de diferença, isso quer dizer que
x\in A\quad\text{e}\quad x\notin (C\cup B).
Aplicando a equivalência de De Morgan para pertença, x\notin (C\cup B) é equivalente a
x\notin C\quad\text{e}\quad x\notin B.
Portanto temos simultaneamente
x\in A,\quad x\notin C,\quad x\notin B.
Agora agrupamos: x\in A e x\notin C implica x\in A-C. E x\in A e x\notin B implica x\in A-B. Assim x\in A-C e x\in A-B, ou seja
x\in (A-C)\cap(A-B).
Como x foi um elemento arbitrário de A-(C\cup B), concluímos que
A-(C\cup B)\subseteq (A-C)\cap(A-B).

Passo 5

Prova de (A-C)\cap(A-B)\subseteq A-(C\cup B).
Seja um elemento arbitrário x tal que x\in (A-C)\cap(A-B).
Pelo significado de interseção, isso quer dizer que
x\in A-C\quad\text{e}\quad x\in A-B.
Pela definição de diferença, x\in A-C significa x\in A e x\notin C. Do mesmo modo, x\in A-B significa x\in A e x\notin B. Juntando as informações obtemos
x\in A,\quad x\notin C,\quad x\notin B.
Das duas negações x\notin C e x\notin B segue que x\notin (C\cup B) (novamente pela equivalência de De Morgan, a negação de "estar em C ou em B" é "não estar em C e não estar em B").
Portanto x\in A e x\notin (C\cup B), isto é,
x\in A-(C\cup B).
Como x foi arbitrário em (A-C)\cap(A-B), segue que
(A-C)\cap(A-B)\subseteq A-(C\cup B).

Passo 6

Conclusão: temos as duas inclusões
A-(C\cup B)\subseteq (A-C)\cap(A-B)
e
(A-C)\cap(A-B)\subseteq A-(C\cup B).
Portanto os dois conjuntos são iguais:
A-(C\cup B)=(A-C)\cap(A-B).
Pequeno exemplo concreto para fixar (opcional, mas ajuda): tome A=\{1,2,3\}, B=\{2\}, C=\{3\}. Então C\cup B=\{2,3\}, logo A-(C\cup B)=\{1\}. Por outro lado A-C=\{1,2\} e A-B=\{1,3\}, e (A-C)\cap(A-B)=\{1\}. Coincidem, como provado acima.

Resposta

A-(C \cup B)=(A-C) \cap(A-B)

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