Sejam
e C subconjuntos do conjunto universo
. Prove que se tem:
Passo 1
O enunciado dá três subconjuntos do universo
:
,
e
. Pede para provar a igualdade
Informações relevantes que temos:
,
e
são conjuntos quaisquer (subconjuntos de
). A expressão envolve operações básicas de conjuntos: diferença, união e interseção. O objetivo é mostrar que os dois conjuntos indicados são iguais.
Passo 2
Vou lembrar e explicar as definições que usaremos — passo essencial para a prova elementar por inclusão de elementos.
Definições:
Definições:
ou seja,
significa que
e simultaneamente
.
Uma lei lógica útil (Lei de De Morgan para pertencer): para um elemento
,
Isto é só a tradução em linguagem de pertença da negação da disjunção.
Passo 3
Estratégia de prova (clássica e simples): provar inclusão dupla. Ou seja, mostrar primeiro
e depois
Se cada conjunto está contido no outro, então eles são iguais.
Passo 4
Prova de
.
Seja um elemento arbitrário
tal que
.
Pelo significado de diferença, isso quer dizer que
Pelo significado de diferença, isso quer dizer que
Aplicando a equivalência de De Morgan para pertença,
é equivalente a
Portanto temos simultaneamente
Agora agrupamos:
e
implica
. E
e
implica
. Assim
e
, ou seja
Como
foi um elemento arbitrário de
, concluímos que
Passo 5
Prova de
.
Seja um elemento arbitrário
tal que
.
Pelo significado de interseção, isso quer dizer que
Pelo significado de interseção, isso quer dizer que
Pela definição de diferença,
significa
e
. Do mesmo modo,
significa
e
. Juntando as informações obtemos
Das duas negações
e
segue que
(novamente pela equivalência de De Morgan, a negação de "estar em
ou em
" é "não estar em
e não estar em
").
Portanto e
, isto é,
Portanto
Como
foi arbitrário em
, segue que
Passo 6
Conclusão: temos as duas inclusões
e
Portanto os dois conjuntos são iguais:
Pequeno exemplo concreto para fixar (opcional, mas ajuda): tome
,
,
. Então
, logo
. Por outro lado
e
, e
. Coincidem, como provado acima.