Considerando o conjunto
, responda:
a) Represente os conjuntos abaixo na forma tabular, ou seja, listando os elementos de cada conjunto:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
b) Determine:
(i)
(ii)
(iii)
a) Represente os conjuntos abaixo na forma tabular, ou seja, listando os elementos de cada conjunto:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
b) Determine:
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede duas coisas.
Parte (a): representar, na forma tabular (listando elementos), os conjuntos
Parte (b): determinar
As informações relevantes já estão reunidas acima: o conjunto
e as definições de
. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Entender bem a definição de
. Queremos todos os
tais que
.
Explicação didática curta:
-
é o conjunto dos números naturais. Aqui consideramos , ou seja, incluímos o . (Assim é natural.) -
significa que é um quadrado perfeito: .
Agora vamos testar cada elemento de
calculando
e verificando se é quadrado perfeito.
Passo 3
Calcular
para cada
e ver quais são quadrados perfeitos.
Lista dos pares
e
:
Dos valores acima, os quadrados perfeitos são
(pois
). Esses correspondem a
.
Portanto, na forma tabular,
Passo 4
Definir e entender
. Temos
Isto significa: escolhemos
tal que
seja um elemento de
. Para
ser elemento de
necessariamente
é inteiro (um quadrado perfeito) e esse inteiro deve pertencer a
.
Vamos então procurar em
os elementos que são quadrados perfeitos e verificar se suas raízes estão em
.
Passo 5
Verificar quadrados perfeitos em
.
Elementos de
que são quadrados perfeitos:
Agora verificar se as raízes pertencem a
:
Logo os
com
são
. Assim
Passo 6
Definir e entender
. Temos
Isto é simples: para cada
verificamos se subtraindo
obtemos um elemento que também está em
.
Vamos calcular
para cada
e checar a presença em
.
Passo 7
Calcular
e verificar pertencimento:
Assim
Passo 8
Definir e entender
. Temos
Essa condição é uma desigualdade quadrática. Vamos reescrever e resolver a desigualdade para saber para quais valores de
ela vale.
Reescrevendo:
Temos uma parábola (coeficiente de
positivo) e queremos os
entre as raízes da equação quadrática associada.
Passo 9
Calcular as raízes da equação
Usamos a fórmula quadrática. As raízes são
Numericamente,
Como o coeficiente de
é positivo, a desigualdade
vale para
Isto significa, entre as raízes. Como os elementos de
são inteiros positivos, devemos pegar os
tais que
, isto é
.
Passo 10
Selecionar em
os elementos
:
Logo
Passo 11
Parte (b)(i): explicar o significado de
e calcular.
Interpretação: aqui
denota a cardinalidade (número de elementos) do conjunto
. Assim
, o número de elementos que listamos em
.
Como
, temos
Passo 12
Parte (b)(ii): calcular
.
Primeiro a interseção:
Agora a união com
:
Passo 13
Parte (b)(iii): calcular
.
Primeiro a união:
Agora a diferença de conjuntos
menos esse conjunto:
Retirando os elementos que estão na união obtemos
Resposta
a(i)
a(ii)
a(iii)
a(iv)
b(i)
b(ii)
b(iii)
a(ii)
a(iii)
a(iv)
b(i)
b(ii)
b(iii)