Considerando o conjunto A=\{1,3,4,5,8,9,15,16,17,23,25\}, responda:
a) Represente os conjuntos abaixo na forma tabular, ou seja, listando os elementos de cada conjunto:
(i) C_{1}=\{a \in A \mid \sqrt{a-1} \in \mathbb{N}\}
(ii) C_{2}=\{a \in A \mid \sqrt{a} \in A\}
(iii) C_{3}=\{a \in A \mid(a-2) \in A\}
(iv) C_{4}=\left\{a \in A \mid a^{2}-4 \leq 8 a\right\}
b) Determine:
(i) \rho\left(C_{1}\right)
(ii) \left(C_{1} \cap C_{3}\right) \cup C_{4}
(iii) C_{2}-\left(C_{3} \cup C_{4}\right)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
A=\{1,3,4,5,8,9,15,16,17,23,25\}
e pede duas coisas.
Parte (a): representar, na forma tabular (listando elementos), os conjuntos
\text{(i) }C_{1}=\{a\in A\mid \sqrt{a-1}\in\mathbb{N}\},
\text{(ii) }C_{2}=\{a\in A\mid \sqrt{a}\in A\},
\text{(iii) }C_{3}=\{a\in A\mid (a-2)\in A\},
\text{(iv) }C_{4}=\{a\in A\mid a^{2}-4\le 8a\}.
Parte (b): determinar
\text{(i) }\rho(C_{1}),
\text{(ii) }(C_{1}\cap C_{3})\cup C_{4},
\text{(iii) }C_{2}-\bigl(C_{3}\cup C_{4}\bigr).
As informações relevantes já estão reunidas acima: o conjunto A e as definições de C_1,C_2,C_3,C_4. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Entender bem a definição de C_{1}. Queremos todos os a\in A tais que \sqrt{a-1}\in\mathbb{N}.
Explicação didática curta:
  • \mathbb{N} é o conjunto dos números naturais. Aqui consideramos \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}, ou seja, incluímos o 0. (Assim \sqrt{0}=0 é natural.)
  • \sqrt{a-1}\in\mathbb{N} significa que a-1 é um quadrado perfeito: a-1\in\{0,1,4,9,16,\dots\}.
Agora vamos testar cada elemento de A calculando a-1 e verificando se é quadrado perfeito.

Passo 3

Calcular a-1 para cada a\in A e ver quais são quadrados perfeitos.
Lista dos pares a e a-1:
\begin{aligned} &1\mapsto 0,\\\ &3\mapsto 2,\\\ &4\mapsto 3,\\\ &5\mapsto 4,\\\ &8\mapsto 7,\\\ &9\mapsto 8,\\\ &15\mapsto 14,\\\ &16\mapsto 15,\\\ &17\mapsto 16,\\\ &23\mapsto 22,\\\ &25\mapsto 24. \end{aligned}
Dos valores acima, os quadrados perfeitos são 0,4,16 (pois 0=0^2,\;4=2^2,\;16=4^2). Esses correspondem a a=1,5,17.
Portanto, na forma tabular,
C_{1}=\{1,5,17\}.

Passo 4

Definir e entender C_{2}. Temos
C_{2}=\{a\in A\mid \sqrt{a}\in A\}.
Isto significa: escolhemos a\in A tal que \sqrt{a} seja um elemento de A. Para \sqrt{a} ser elemento de A necessariamente \sqrt{a} é inteiro (um quadrado perfeito) e esse inteiro deve pertencer a A.
Vamos então procurar em A os elementos que são quadrados perfeitos e verificar se suas raízes estão em A.

Passo 5

Verificar quadrados perfeitos em A.
Elementos de A que são quadrados perfeitos:
1=1^2,\quad 4=2^2,\quad 9=3^2,\quad 16=4^2,\quad 25=5^2.
Agora verificar se as raízes pertencem a A:
\sqrt{1}=1\in A,\quad \sqrt{4}=2\notin A,\quad \sqrt{9}=3\in A,\quad \sqrt{16}=4\in A,\quad \sqrt{25}=5\in A.
Logo os a\in A com \sqrt{a}\in A são 1,9,16,25. Assim
C_{2}=\{1,9,16,25\}.

Passo 6

Definir e entender C_{3}. Temos
C_{3}=\{a\in A\mid (a-2)\in A\}.
Isto é simples: para cada a\in A verificamos se subtraindo 2 obtemos um elemento que também está em A.
Vamos calcular a-2 para cada a\in A e checar a presença em A.

Passo 7

Calcular a-2 e verificar pertencimento:
\begin{aligned} &1-2=-1\notin A,\\\ &3-2=1\in A,\quad\text{logo }3\in C_{3},\\\ &4-2=2\notin A,\\\ &5-2=3\in A,\quad\text{logo }5\in C_{3},\\\ &8-2=6\notin A,\\\ &9-2=7\notin A,\\\ &15-2=13\notin A,\\\ &16-2=14\notin A,\\\ &17-2=15\in A,\quad\text{logo }17\in C_{3},\\\ &23-2=21\notin A,\\\ &25-2=23\in A,\quad\text{logo }25\in C_{3}. \end{aligned}
Assim
C_{3}=\{3,5,17,25\}.

Passo 8

Definir e entender C_{4}. Temos
C_{4}=\{a\in A\mid a^{2}-4\le 8a\}.
Essa condição é uma desigualdade quadrática. Vamos reescrever e resolver a desigualdade para saber para quais valores de a ela vale.
Reescrevendo:
a^{2}-4\le 8a \quad\Longleftrightarrow\quad a^{2}-8a-4\le 0.
Temos uma parábola (coeficiente de a^{2} positivo) e queremos os a entre as raízes da equação quadrática associada.

Passo 9

Calcular as raízes da equação
a^{2}-8a-4=0.
Usamos a fórmula quadrática. As raízes são
a=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^{2}-4\cdot 1\cdot(-4)}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{64+16}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{80}}{2}=\frac{8\pm 4\sqrt{5}}{2}=4\pm 2\sqrt{5}.
Numericamente,
4-2\sqrt{5}\approx -0{,}4721,\qquad 4+2\sqrt{5}\approx 8{,}4721.
Como o coeficiente de a^{2} é positivo, a desigualdade a^{2}-8a-4\le 0 vale para
4-2\sqrt{5}\le a\le 4+2\sqrt{5}.
Isto significa, entre as raízes. Como os elementos de A são inteiros positivos, devemos pegar os a\in A tais que a\le 8{,}4721, isto é a\le 8.

Passo 10

Selecionar em A os elementos \le 8:
1,3,4,5,8.
Logo
C_{4}=\{1,3,4,5,8\}.

Passo 11

Parte (b)(i): explicar o significado de \rho(C_{1}) e calcular.
Interpretação: aqui \rho(S) denota a cardinalidade (número de elementos) do conjunto S. Assim \rho(C_{1})=|C_{1}|, o número de elementos que listamos em C_{1}.
Como C_{1}=\{1,5,17\}, temos
\rho(C_{1})=3.

Passo 12

Parte (b)(ii): calcular (C_{1}\cap C_{3})\cup C_{4}.
Primeiro a interseção:
C_{1}\cap C_{3}=\{1,5,17\}\cap\{3,5,17,25\}=\{5,17\}.
Agora a união com C_{4}:
\{5,17\}\cup\{1,3,4,5,8\}=\{1,3,4,5,8,17\}.

Passo 13

Parte (b)(iii): calcular C_{2}-\bigl(C_{3}\cup C_{4}\bigr).
Primeiro a união:
C_{3}\cup C_{4}=\{3,5,17,25\}\cup\{1,3,4,5,8\}=\{1,3,4,5,8,17,25\}.
Agora a diferença de conjuntos C_{2} menos esse conjunto:
C_{2}=\{1,9,16,25\}.
Retirando os elementos que estão na união obtemos
C_{2}-\bigl(C_{3}\cup C_{4}\bigr)=\{1,9,16,25\}-\{1,3,4,5,8,17,25\}=\{9,16\}.

Resposta

a(i) C_{1}=\{1,5,17\}
a(ii) C_{2}=\{1,9,16,25\}
a(iii) C_{3}=\{3,5,17,25\}
a(iv) C_{4}=\{1,3,4,5,8\}
b(i) \rho(C_{1})=3
b(ii) (C_{1}\cap C_{3})\cup C_{4}=\{1,3,4,5,8,17\}
b(iii) C_{2}-\bigl(C_{3}\cup C_{4}\bigr)=\{9,16\}

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