Calcule a integral dupla das funções na regiões indicadas:
f(x, y)=\sqrt{y} \sin (x \sqrt{y})
D=\left\{(x, y) ; 0 \leq x, x^{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla da função sobre a região D. Mais precisamente:
  • Função: f(x,y)=\sqrt{y}\,\sin\!\big(x\sqrt{y}\big).
  • Região: D=\{(x,y)\mid 0\le x,\; x^{2}\le y\le \tfrac{\pi}{2}\}.
O que é pedido: calcular
\iint_{D} \sqrt{y}\,\sin\!\big(x\sqrt{y}\big)\,dA.
Informações importantes dadas (extraídas diretamente do enunciado):
  • x é não-negativo: x\ge 0.
  • Para cada x considerado, y varia entre y=x^{2} e y=\tfrac{\pi}{2}.
  • Portanto implicitamente existe um limite superior para x dado por x^{2}\le \tfrac{\pi}{2}, isto é 0\le x\le \sqrt{\tfrac{\pi}{2}}.

Passo 2

Escolha do método: aqui é natural tentar trocar a ordem de integração (integrar primeiro em x) porque a integranda tem a forma \sqrt{y}\,\sin(x\sqrt{y}) — para integrar em x ela fica simples, já que \sqrt{y} é constante em relação a x. Vou descrever a região para justificar a troca.
Descrição da região D:
  • A condição x^{2}\le y equivale a x\le \sqrt{y} (lembrando que x\ge0).
  • Como y está limitado por y\le \tfrac{\pi}{2} e por y\ge x^{2}, o conjunto de todos os y possíveis vai de 0 até \tfrac{\pi}{2}.
  • Para um y fixo em [0,\tfrac{\pi}{2}], x varia de 0 até \sqrt{y}.
Logo a ordem troca-se sem problemas e o domínio em coordenadas (y,x) fica:
0\le y\le \tfrac{\pi}{2},\qquad 0\le x\le \sqrt{y}.

Passo 3

Reescrevendo a integral com a ordem dx\,dy:
\iint_{D} \sqrt{y}\,\sin\!\big(x\sqrt{y}\big)\,dA = \int_{y=0}^{\tfrac{\pi}{2}} \left( \int_{x=0}^{\sqrt{y}} \sqrt{y}\,\sin\!\big(x\sqrt{y}\big)\,dx \right) dy.
Explicação: para cada y fixo, \sqrt{y} é uma constante quando integramos em x, então podemos tratá-la como coeficiente dentro da integral interna.

Passo 4

Cálculo da integral interna em x. Vamos calcular
\int_{x=0}^{\sqrt{y}} \sqrt{y}\,\sin\!\big(x\sqrt{y}\big)\,dx.
Fazemos a substituição simples (mudança de variável dentro da integral em x):
  • Definir t = x\sqrt{y}. Então dt = \sqrt{y}\,dx, ou seja dx = \dfrac{dt}{\sqrt{y}}.
  • Quando x=0 temos t=0.
  • Quando x=\sqrt{y} temos t=\sqrt{y}\cdot\sqrt{y}=y.
Substituindo:
\int_{x=0}^{\sqrt{y}} \sqrt{y}\,\sin\!\big(x\sqrt{y}\big)\,dx = \int_{t=0}^{y} \sin(t)\,dt.
Observe que as duas \sqrt{y} (uma fora do seno e a outra vindo de dx) se cancelam quando se faz dt=\sqrt{y}\,dx, deixando exatamente \int_{0}^{y}\sin t\,dt.
Agora integramos \sin t:
\int_{0}^{y} \sin t\,dt = \big[-\cos t\big]_{0}^{y} = -\cos y - (-\cos 0) = 1-\cos y.
Portanto a integral interna é 1-\cos y.

Passo 5

Agora calculamos a integral externa em y:
\int_{y=0}^{\tfrac{\pi}{2}} \big(1-\cos y\big)\,dy = \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} 1\,dy \;-\; \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos y\,dy.
Calcule cada termo:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} 1\,dy = \left[y\right]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} = \tfrac{\pi}{2}.
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos y\,dy = \left[\sin y\right]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} = \sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)-\sin(0) = 1-0 = 1.
Subtraindo:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \big(1-\cos y\big)\,dy = \tfrac{\pi}{2}-1.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}-1

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