Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede que se classifique essa equação quanto ao tipo, à ordem e à linearidade.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é
(função de ), aparecendo suas derivadas e . - Os coeficientes são
, e . Pressupõe-se que e são constantes (o enunciado não diz o contrário). - O membro direito da equação é
.
Passo 2
Ordem da equação — o que é e como identificar.
A ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada que aparece nela. Exemplos rápidos:
A ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada que aparece nela. Exemplos rápidos:
- Se aparece apenas
, a ordem é . - Se aparece
, a ordem é .
Na equação dada o termo de maior ordem é. Portanto a ordem é
Passo 3
Tipo: equação diferencial ordinária (EDO) vs parcial (EDP).
- Uma equação é ordinária (EDO) quando a função incógnita depende de uma única variável independente (aqui
) e aparecem derivadas em relação a essa variável. - Uma equação é parcial (EDP) quando a incógnita depende de mais de uma variável (por exemplo
) e aparecem derivadas parciais.
Na equação fornecida só há derivadas em relação ae só uma variável independente aparece, portanto é uma equação diferencial ordinária (EDO).
Observação adicional útil: como os coeficientes dependem de(por exemplo e ), trata-se de uma EDO com coeficientes que não são constantes.
Passo 4
Linearidade — definição e verificação.
Definição prática: uma EDO é linear se a incógnita e suas derivadas aparecem apenas em combinações lineares, isto é, cada termo é da forma (coeficiente que depende de
) vezes uma derivada de
ou vezes
, sem produtos ou funções não-lineares de
ou de
(por exemplo sem termos como
,
,
,
, etc.).
Na equação dada todos os termos são coeficiente × derivada de ou coeficiente ×
:
Definição prática: uma EDO é linear se a incógnita
Na equação dada todos os termos são coeficiente × derivada de
Não há termos como
ou
. Portanto a equação é linear em
.
Além disso, o membro direito é , portanto é uma equação linear homogênea (homogênea porque o termo independente é zero).
Além disso, o membro direito é
Passo 5
Classe especial — equação de Euler–Cauchy (equidimensional).
Há uma forma reconhecível chamada equação de Euler–Cauchy (ou equidimensional) quando os coeficientes são potências de que combinam com a ordem da derivada: termo em
, termo em
, termo em
. A forma geral é
Há uma forma reconhecível chamada equação de Euler–Cauchy (ou equidimensional) quando os coeficientes são potências de
A equação dada tem exatamente essa forma (com
e
), portanto é uma equação de Euler–Cauchy. Isso a distingue de uma EDO linear qualquer: embora seja linear, seus coeficientes não são constantes — são específicos (potências de
) que permitem uma técnica de solução particular (procurar soluções do tipo
), mas não precisamos resolver aqui, só reconhecer a forma.
Resposta
Tipo:
Ordem:
Linearidade:
Ordem:
Linearidade: