Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
x^{2} y^{\prime \prime}+b x y^{\prime}+c y=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}y'' + b x y' + c y = 0
e pede que se classifique essa equação quanto ao tipo, à ordem e à linearidade.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é y (função de x), aparecendo suas derivadas y' e y''.
  • Os coeficientes são x^{2}, b x e c. Pressupõe-se que b e c são constantes (o enunciado não diz o contrário).
  • O membro direito da equação é 0.

Passo 2

Ordem da equação — o que é e como identificar.
A ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada que aparece nela. Exemplos rápidos:
  • Se aparece apenas y', a ordem é 1.
  • Se aparece y'', a ordem é 2.
    Na equação dada o termo de maior ordem é y''. Portanto a ordem é
\text{ordem} = 2.

Passo 3

Tipo: equação diferencial ordinária (EDO) vs parcial (EDP).
  • Uma equação é ordinária (EDO) quando a função incógnita depende de uma única variável independente (aqui x) e aparecem derivadas em relação a essa variável.
  • Uma equação é parcial (EDP) quando a incógnita depende de mais de uma variável (por exemplo u(x,t)) e aparecem derivadas parciais.
    Na equação fornecida só há derivadas em relação a x e só uma variável independente aparece, portanto é uma equação diferencial ordinária (EDO).
    Observação adicional útil: como os coeficientes dependem de x (por exemplo x^{2} e x), trata-se de uma EDO com coeficientes que não são constantes.

Passo 4

Linearidade — definição e verificação.
Definição prática: uma EDO é linear se a incógnita y e suas derivadas aparecem apenas em combinações lineares, isto é, cada termo é da forma (coeficiente que depende de x) vezes uma derivada de y ou vezes y, sem produtos ou funções não-lineares de y ou de y' (por exemplo sem termos como y^2, \sin(y), y y', (y')^2, etc.).
Na equação dada todos os termos são coeficiente × derivada de y ou coeficiente × y:
x^{2}y'',\qquad b x y',\qquad c y.
Não há termos como y^2 ou y y'. Portanto a equação é linear em y.
Além disso, o membro direito é 0, portanto é uma equação linear homogênea (homogênea porque o termo independente é zero).

Passo 5

Classe especial — equação de Euler–Cauchy (equidimensional).
Há uma forma reconhecível chamada equação de Euler–Cauchy (ou equidimensional) quando os coeficientes são potências de x que combinam com a ordem da derivada: termo em x^{2}y'', termo em x^{1}y', termo em x^{0}y. A forma geral é
x^{2}y'' + \alpha x y' + \beta y = 0.
A equação dada tem exatamente essa forma (com \alpha=b e \beta=c), portanto é uma equação de Euler–Cauchy. Isso a distingue de uma EDO linear qualquer: embora seja linear, seus coeficientes não são constantes — são específicos (potências de x) que permitem uma técnica de solução particular (procurar soluções do tipo y=x^{m}), mas não precisamos resolver aqui, só reconhecer a forma.

Resposta

Tipo: \text{equação diferencial ordinária (EDO), especificamente equação de Euler--Cauchy (equi-dimensional)}çãáçã
Ordem: 2
Linearidade: \text{linear homogênea (coeficientes variáveis)}êá

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