Verifique quais dos conjunto abaixo são subgrupos de
:
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subgrupo de
(o grupo das matrizes
invertíveis sobre
, com a multiplicação de matrizes).
Informações dadas/úteis:
Informações dadas/úteis:
-
é o grupo das matrizes invertíveis reais, ou seja, . -
é o subconjunto de formado pelas matrizes de determinante negativo (logo todo é invertível).
As perguntas claras: “B é subgrupo de? Se sim, por quê; se não, apresente a(s) razão(ões).”
Passo 2
Lembrete didático rápido — o que é preciso checar para confirmar se um subconjunto
de um grupo
é subgrupo:
- Teorema básico:
é subgrupo se e só se for não-vazio e fechado para o produto e para a operação de inverso (ou equivalentemente, contém a identidade de , é fechado por produto e pelo inverso).
Vou usar essas condições simples e concretas: verificar se a identidade está em, se é fechado por produto e se é fechado por inverso.
Passo 3
Verificação da identidade.
A identidade multiplicativa de é a matriz identidade
. O determinante de
é
A identidade multiplicativa de
Como
, segue que
(pois
exige
).
Conclusão parcial: não contém a identidade de
. Como todo subgrupo deve conter a identidade, isso já é uma falha grave — portanto
não pode ser subgrupo. Ainda assim, para consolidar a intuição, vou checar também a clausura por produto.
Conclusão parcial:
Passo 4
Verificação da clausura por produto (explicando a propriedade que uso).
Fato importante sobre determinante (aula curtinha): para quaisquer matrizes quadradas e
de mesma ordem vale
Fato importante sobre determinante (aula curtinha): para quaisquer matrizes quadradas
Use essa regra sempre que combinar matrizes: o determinante é multiplicativo.
Agora, se e
, então
e
. Portanto
Agora, se
pois o produto de dois números negativos é positivo. Assim
, logo
. Isso mostra que
não é fechado para multiplicação. Um contraexemplo numérico simples (para ver na prática):
mas
portanto
e
mas
. Clausura falhou.]
Passo 5
Verificação da propriedade do inverso (apenas para completar a análise).
Se então
. Para o inverso vale
Se
Como
, segue
. Logo os inversos de elementos de
permanecem em
. Ou seja,
é fechado por inversos. Mas isso não compensa a falta da identidade nem a falta de clausura por produto.
Passo 6
Conclusão final (ligando tudo):
-
não contém a identidade de (pois ). -
não é fechado por multiplicação (produto de duas matrizes de determinante negativo tem determinante positivo). - Embora
seja fechado por inversos, a ausência da identidade e a falha de clausura por produto bastam para concluir que não é subgrupo.
Resposta
B não é subgrupo de
.