Verifique quais dos conjunto abaixo são subgrupos de G L(2) :
B=\left\{M \in \mathbb{R}^{2 \times 2} ; \operatorname{det} M<0\right\};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
B=\{M\in\mathbb{R}^{2\times2}\;|\;\det M<0\}
é um subgrupo de GL(2) (o grupo das matrizes 2\times2 invertíveis sobre \mathbb{R}, com a multiplicação de matrizes).
Informações dadas/úteis:
  • GL(2) é o grupo das matrizes invertíveis 2\times2 reais, ou seja, GL(2)=\{M\in\mathbb{R}^{2\times2}\;|\;\det M\neq0\}.
  • B é o subconjunto de GL(2) formado pelas matrizes de determinante negativo (logo todo M\in B é invertível).
    As perguntas claras: “B é subgrupo de GL(2)? Se sim, por quê; se não, apresente a(s) razão(ões).”

Passo 2

Lembrete didático rápido — o que é preciso checar para confirmar se um subconjunto H de um grupo G é subgrupo:
  • Teorema básico: H\subseteq G é subgrupo se e só se H for não-vazio e fechado para o produto e para a operação de inverso (ou equivalentemente, H contém a identidade de G, é fechado por produto e pelo inverso).
    Vou usar essas condições simples e concretas: verificar se a identidade está em B, se B é fechado por produto e se é fechado por inverso.

Passo 3

Verificação da identidade.
A identidade multiplicativa de GL(2) é a matriz identidade I. O determinante de I é
\det I = 1.
Como 1>0, segue que I\notin B (pois B exige \det M<0).
Conclusão parcial: B não contém a identidade de GL(2). Como todo subgrupo deve conter a identidade, isso já é uma falha grave — portanto B não pode ser subgrupo. Ainda assim, para consolidar a intuição, vou checar também a clausura por produto.

Passo 4

Verificação da clausura por produto (explicando a propriedade que uso).
Fato importante sobre determinante (aula curtinha): para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem vale
\det(AB)=\det A\cdot\det B.
Use essa regra sempre que combinar matrizes: o determinante é multiplicativo.
Agora, se A\in B e B\in B, então \det A<0 e \det B<0. Portanto
\det(AB)=\det A\cdot\det B>0,
pois o produto de dois números negativos é positivo. Assim \det(AB)>0, logo AB\notin B. Isso mostra que B não é fechado para multiplicação. Um contraexemplo numérico simples (para ver na prática):
A=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\quad\text{tem}\quad\det A=-1<0,
mas
A\cdot A = I,\quad\det(I)=1>0,
portanto A\in B e A\in B mas AA\notin B. Clausura falhou.]

Passo 5

Verificação da propriedade do inverso (apenas para completar a análise).
Se M\in B então \det M<0. Para o inverso vale
\det(M^{-1})=\frac{1}{\det M}.
Como \det M<0, segue \det(M^{-1})<0. Logo os inversos de elementos de B permanecem em B. Ou seja, B é fechado por inversos. Mas isso não compensa a falta da identidade nem a falta de clausura por produto.

Passo 6

Conclusão final (ligando tudo):
  • B não contém a identidade de GL(2) (pois \det I=1>0).
  • B não é fechado por multiplicação (produto de duas matrizes de determinante negativo tem determinante positivo).
  • Embora B seja fechado por inversos, a ausência da identidade e a falha de clausura por produto bastam para concluir que B não é subgrupo.

Resposta

B não é subgrupo de GL(2).

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