Sejam A uma matriz de ordem m \times n e B uma matriz de ordem p \times q.
a) Quais são as condições sobre m, n, p, q para que a soma A+B esteja definida?
b) Quais são as condições sobre m, n, p, q para que o produto A B esteja definido? Qual será a ordem da matriz resultante A B ?
c) Nas condições do item (b), o produto B A está sempre definido? Se sim, por quê? Se não, quais condições adicionais são necessárias?

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes: A de ordem m\times n e B de ordem p\times q. As perguntas são três:
  1. (a) Quais condições sobre m,n,p,q para que a soma A+B esteja definida?
  2. (b) Quais condições sobre m,n,p,q para que o produto AB esteja definido? Qual é a ordem da matriz AB?
  3. (c) Nas condições do item (b) (isto é, quando AB está definido), o produto BA está sempre definido? Se não, quais condições adicionais são necessárias?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: as ordens de A e B são, respectivamente, m\times n e p\times q. Não há outros dados numéricos; temos que responder em termos de m,n,p,q.

Passo 2

O que significa “a soma A+B está definida”?
Definição prática: para somar matrizes fazemos soma elemento a elemento. Se A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}), a soma é a matriz (a_{ij}+b_{ij}). Isso só faz sentido quando há correspondência um-a-um entre entradas de A e de B: mesmas linhas e mesmas colunas.
Explicando com atenção: A tem m linhas e n colunas; seus índices válidos são i=1,\dots,m e j=1,\dots,n. B tem p linhas e q colunas; índices i=1,\dots,p e j=1,\dots,q. Para que cada a_{ij} possa ser somado com b_{ij} precisamos que o conjunto de índices seja igual, isto é, m=p (mesmo número de linhas) e n=q (mesmo número de colunas).
Conclusão do raciocínio: a condição para A+B existir é exatamente m=p e n=q.

Passo 3

Agora produto de matrizes: como é definido o elemento genérico de AB?
Definição prática: se A=(a_{ik}) tem ordem m\times n e B=(b_{kj}) tem ordem p\times q, o elemento na linha i e coluna j do produto AB é dado por
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{\ell} a_{ik}\,b_{kj},
onde \ell é o número de termos da soma (é o número de colunas de A e simultaneamente o número de linhas de B). Para que essa soma faça sentido precisamos que o índice k percorra o mesmo conjunto de posições nas duas matrizes: as colunas de A e as linhas de B devem ter a mesma quantidade.
No nosso caso A tem n colunas (índice k=1,\dots,n) e B tem p linhas (índice k=1,\dots,p). Portanto, a condição necessária e suficiente para que cada produto termo a termo a_{ik}b_{kj} exista para todos k é
n = p.

Passo 4

Determinando a ordem de AB: supondo n=p (condição estabelecida), quais são as dimensões de AB?
  • O índice i que identifica as linhas de AB vem das linhas de A, que são i=1,\dots,m.
  • O índice j que identifica as colunas de AB vem das colunas de B, que são j=1,\dots,q.
Logo, a matriz AB terá m linhas e q colunas, isto é, ordem m\times q.

Passo 5

Exemplo concreto (para fixar): se A é 2\times3 ( m=2,n=3) e B é 3\times4 ( p=3,q=4), então n=p porque 3=3, o produto AB está definido, e AB terá ordem 2\times4. Se em vez disso B fosse 2\times4 ( p=2), não poderíamos formar AB porque n=3\neq p=2.

Passo 6

Agora a pergunta (c): quando AB está definido (ou seja, quando n=p), o produto BA está sempre definido? Vamos examinar.
Para BA estar definido precisamos que o número de colunas de B seja igual ao número de linhas de A. B tem q colunas e A tem m linhas. Portanto a condição para BA existir é
q = m.
Observações consequentes:
  • Em geral, AB estar definido (isto é, n=p) não garante BA definido, pois isso exigiria também q=m. Então, não, BA não está sempre definido quando AB está definido.
  • Se ambas as igualdades n=p e q=m se cumprirem então tanto AB quanto BA existem. Nesse caso AB tem ordem m\times q e BA tem ordem p\times n. Em particular, se m=n=p=q (ambas são quadradas da mesma ordem) então ambos os produtos existem e têm a mesma ordem, embora ainda não sejam necessariamente iguais como matrizes.

Passo 7

Dica rápida para a prova (jeito prático de checar): para decidir se X Y está definido, olhe o número de colunas de X e compare com o número de linhas de Y. Se forem iguais, o produto existe; a ordem do produto é (linhas de X) \times (colunas de Y).
Força aí — lembra: comparar colunas do fator da esquerda com linhas do fator da direita. Faz isso duas vezes se quiser testar AB e BA.

Resposta

(a) m=p e n=q.\n
(b) É necessário n=p. Nesse caso AB tem ordem m\times q.\n
(c) Não, nem sempre. Para que BA exista é necessário q=m. Portanto, para que ambos AB e BA existam é preciso n=p e q=m.

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