Sejam
uma matriz de ordem
e
uma matriz de ordem
.
a) Quais são as condições sobre
para que a soma
esteja definida?
b) Quais são as condições sobre
para que o produto
esteja definido? Qual será a ordem da matriz resultante
?
c) Nas condições do item (b), o produto
está sempre definido? Se sim, por quê? Se não, quais condições adicionais são necessárias?
a) Quais são as condições sobre
b) Quais são as condições sobre
c) Nas condições do item (b), o produto
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes:
de ordem
e
de ordem
. As perguntas são três:
- (a) Quais condições sobre
para que a soma esteja definida? - (b) Quais condições sobre
para que o produto esteja definido? Qual é a ordem da matriz ? - (c) Nas condições do item (b) (isto é, quando
está definido), o produto está sempre definido? Se não, quais condições adicionais são necessárias?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: as ordens de
e
são, respectivamente,
e
. Não há outros dados numéricos; temos que responder em termos de
.
Passo 2
O que significa “a soma
está definida”?
Definição prática: para somar matrizes fazemos soma elemento a elemento. Se e
, a soma é a matriz
. Isso só faz sentido quando há correspondência um-a-um entre entradas de
e de
: mesmas linhas e mesmas colunas.
Definição prática: para somar matrizes fazemos soma elemento a elemento. Se
Explicando com atenção:
tem
linhas e
colunas; seus índices válidos são
e
.
tem
linhas e
colunas; índices
e
. Para que cada
possa ser somado com
precisamos que o conjunto de índices seja igual, isto é,
(mesmo número de linhas) e
(mesmo número de colunas).
Conclusão do raciocínio: a condição para
existir é exatamente
e
.
Passo 3
Agora produto de matrizes: como é definido o elemento genérico de
?
Definição prática: se tem ordem
e
tem ordem
, o elemento na linha
e coluna
do produto
é dado por
Definição prática: se
onde
é o número de termos da soma (é o número de colunas de
e simultaneamente o número de linhas de
). Para que essa soma faça sentido precisamos que o índice
percorra o mesmo conjunto de posições nas duas matrizes: as colunas de
e as linhas de
devem ter a mesma quantidade.
No nosso caso
tem
colunas (índice
) e
tem
linhas (índice
). Portanto, a condição necessária e suficiente para que cada produto termo a termo
exista para todos
é
Passo 4
Determinando a ordem de
: supondo
(condição estabelecida), quais são as dimensões de
?
- O índice
que identifica as linhas de vem das linhas de , que são . - O índice
que identifica as colunas de vem das colunas de , que são .
Logo, a matriz
terá
linhas e
colunas, isto é, ordem
.
Passo 5
Exemplo concreto (para fixar): se
é
(
) e
é
(
), então
porque
, o produto
está definido, e
terá ordem
. Se em vez disso
fosse
(
), não poderíamos formar
porque
.
Passo 6
Agora a pergunta (c): quando
está definido (ou seja, quando
), o produto
está sempre definido? Vamos examinar.
Para
estar definido precisamos que o número de colunas de
seja igual ao número de linhas de
.
tem
colunas e
tem
linhas. Portanto a condição para
existir é
Observações consequentes:
- Em geral,
estar definido (isto é, ) não garante definido, pois isso exigiria também . Então, não, não está sempre definido quando está definido. - Se ambas as igualdades
e se cumprirem então tanto quanto existem. Nesse caso tem ordem e tem ordem . Em particular, se (ambas são quadradas da mesma ordem) então ambos os produtos existem e têm a mesma ordem, embora ainda não sejam necessariamente iguais como matrizes.
Passo 7
Dica rápida para a prova (jeito prático de checar): para decidir se
está definido, olhe o número de colunas de
e compare com o número de linhas de
. Se forem iguais, o produto existe; a ordem do produto é (linhas de
)
(colunas de
).
Força aí — lembra: comparar colunas do fator da esquerda com linhas do fator da direita. Faz isso duas vezes se quiser testar
e
.
Resposta
(a)
e
.\n
(b) É necessário . Nesse caso
tem ordem
.\n
(c) Não, nem sempre. Para que exista é necessário
. Portanto, para que ambos
e
existam é preciso
e
.
(b) É necessário
(c) Não, nem sempre. Para que