Sejam as matrizes
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{rrr} -2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 2 \\\\ 4 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{lr} 2 & -1 \end{array}\right] .
Calcule, se for possível. No caso de não ser possível, explique o motivo.
A C

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto matricial A C.
As matrizes fornecidas são (copiadas do enunciado):
A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & 1 & -1 \end{bmatrix},\qquad C=\begin{bmatrix} -1\\[4pt] 2\\[4pt] 4 \end{bmatrix}.
Informações relevantes extraídas:
  • A tem dimensão 2\times3 (duas linhas e três colunas).
  • C tem dimensão 3\times1 (três linhas e uma coluna).
  • O pedido é apenas o produto A C.]

Passo 2

Verificação de possibilidade do produto e regra geral (aqui explico a ideia para você entender).
  • Regra de compatibilidade de dimensões: se X é m\times n e Y é n\times p, então o produto XY existe e é de dimensão m\times p.
  • Fórmula do elemento do produto: o elemento (XY)_{ij} (linha i, coluna j) é dado por
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj},
onde k percorre as colunas de X (ou linhas de Y). Aqui i varia de 1 a m e j varia de 1 a p.
Explicando com palavras simples: para obter cada entrada do resultado, faz-se o produto escalar entre a linha correspondente de X e a coluna correspondente de Y e soma os produtos.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso:
  • A é 2\times3 e C é 3\times1. As dimensões “casam” ( 3 no meio), logo A C existe e terá dimensão 2\times1.
  • Vamos calcular as duas entradas do vetor resultado usando a fórmula do produto escalar.
Denotando o resultado por v=AC com v\in\mathbb{R}^{2\times1}, o componente v_1 (primeira linha) é o produto escalar da primeira linha de A com C:
A primeira linha de A é [1\; 2\; 3] e C é \begin{bmatrix}-1\\[4pt]2\\[4pt]4\end{bmatrix}. Pelo produto escalar:
v_1 = 1\cdot(-1) + 2\cdot 2 + 3\cdot 4.]

Passo 4

Calculemos v_1 passo a passo:
1\cdot(-1) = -1, \qquad 2\cdot 2 = 4, \qquad 3\cdot 4 = 12.
Somando:
v_1 = -1 + 4 + 12 = 15.

Passo 5

Agora a segunda entrada v_2 (segunda linha): a segunda linha de A é [2\; 1\; -1]. Fazendo o produto escalar com C:
v_2 = 2\cdot(-1) + 1\cdot 2 + (-1)\cdot 4.
Calcule passo a passo:
2\cdot(-1) = -2, \qquad 1\cdot 2 = 2, \qquad (-1)\cdot 4 = -4.
Somando:
v_2 = -2 + 2 - 4 = -4.

Passo 6

Juntando as entradas obtidas, o produto A C é o vetor coluna de dimensão 2\times1 com componentes v_1=15 e v_2=-4. Escrevendo em forma matricial:
A C = \begin{bmatrix}15\\[4pt]-4\end{bmatrix}.]

Resposta

\displaystyle \begin{bmatrix}15\\[4pt]-4\end{bmatrix}]

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