Determine o cosseno do ângulo formado pelo par de vetores (-3,-4) e (4,3)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o cosseno do ângulo formado pelos vetores (-3,-4) e (4,3).
Informações dadas:
  • Primeiro vetor: \mathbf{u}=(-3,-4).
  • Segundo vetor: \mathbf{v}=(4,3).
O que precisa ser encontrado: o valor de \cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}.

Passo 2

Fórmula principal que vamos usar (é a definição geométrica do produto escalar):
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta.
Aqui:
  • \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é o produto escalar (ou dot product) entre \mathbf{u} e \mathbf{v}.
  • |\mathbf{u}| é o comprimento (norma) do vetor \mathbf{u}.
  • |\mathbf{v}| é o comprimento (norma) do vetor \mathbf{v}.
  • \theta é o ângulo entre os vetores, e queremos \cos\theta.
Reescrevendo para \cos\theta:
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}.

Passo 3

Definição do produto escalar em \mathbb{R}^2: para \mathbf{u}=(u_x,u_y) e \mathbf{v}=(v_x,v_y),
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_x v_x + u_y v_y.
Aplicando aos vetores dados:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=(-3)\cdot 4 + (-4)\cdot 3.

Passo 4

Calculemos o produto escalar:
(-3)\cdot 4 + (-4)\cdot 3 = -12 -12 = -24.
Portanto \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-24.

Passo 5

Agora calculamos as normas (comprimentos) dos vetores. Norma em \mathbb{R}^2: para \mathbf{u}=(u_x,u_y),
|\mathbf{u}|=\sqrt{u_x^2+u_y^2}.
Para \mathbf{u}=(-3,-4):
|\mathbf{u}|=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Para \mathbf{v}=(4,3):
|\mathbf{v}|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.

Passo 6

Substituindo na fórmula de \cos\theta:
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}=\frac{-24}{5\cdot 5}=\frac{-24}{25}.
Observação rápida: como o cosseno é negativo, o ângulo entre os vetores é obtuso (maior que 90^\circ).

Resposta

-\dfrac{24}{25}

Exercícios relacionados