Sejam as matrizes A=\left(\begin{array}{ccc}-3 & 1 & 4 \\\\ -2 & 0 & 1 \\\\ 1 & 2 & 2\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\\\ -3 & 1 & 1 \\\\ 2 & -4 & 1\end{array}\right), Calcular a matriz X=A^{t} \cdot B (2 valores)

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B e pede para calcular a matriz
X = A^{t} \cdot B.
Informações fornecidas:
A=\begin{pmatrix}-3 & 1 & 4 \\[4pt] -2 & 0 & 1 \\[4pt] 1 & 2 & 2\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\[4pt] -3 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & -4 & 1\end{pmatrix}.
A tarefa é produzir a matriz X resultado do produto entre a transposta de A e B.]

Passo 2

Lembrete/definição importante (o que é transpor):
  • A transposta de uma matriz troca linhas por colunas. Se A=(a_{ij}), então A^{t}=(a_{ji}).
    Vou calcular A^{t} explicitamente pegando as colunas de A como linhas de A^{t}.
A^{t}=\begin{pmatrix} -3 & -2 & 1 \\[4pt] 1 & 0 & 2 \\[4pt] 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Lembrete/definição importante (produto de matrizes e produto escalar):
  • Se C=D\cdot E com D de tamanho m\times n e E de tamanho n\times p, então C é m\times p e cada entrada c_{ij} é o produto escalar da i-ésima linha de D com a j-ésima coluna de E.
  • Em fórmulas:
c_{ij}=\sum_{k=1}^{n} d_{ik}\,e_{kj}.
No nosso caso, A^{t} e B são ambas 3\times3, então X será 3\times3 com
x_{ij}=\text{(linha \(i\) de }A^{t})\cdot\text{(coluna \(j\) de }B).

Passo 4

Vou expor as linhas de A^{t} e as colunas de B para ficar claro o produto escalar.
Linhas de A^{t}:
r_1 = \begin{pmatrix}-3 & -2 & 1\end{pmatrix},\quad r_2 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2\end{pmatrix},\quad r_3 = \begin{pmatrix}4 & 1 & 2\end{pmatrix}.
Colunas de B:
c_1 = \begin{pmatrix}1 \\[4pt] -3 \\[4pt] 2\end{pmatrix},\quad c_2 = \begin{pmatrix}0 \\[4pt] 1 \\[4pt] -4\end{pmatrix},\quad c_3 = \begin{pmatrix}2 \\[4pt] 1 \\[4pt] 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular a primeira linha de X (produtos escalares com r_1):
  • x_{11}=r_1\cdot c_1 = (-3)\cdot 1 + (-2)\cdot(-3) + 1\cdot 2 = -3 + 6 + 2 = 5.
  • x_{12}=r_1\cdot c_2 = (-3)\cdot 0 + (-2)\cdot 1 + 1\cdot(-4) = 0 -2 -4 = -6.
  • x_{13}=r_1\cdot c_3 = (-3)\cdot 2 + (-2)\cdot 1 + 1\cdot 1 = -6 -2 +1 = -7.

Passo 6

Calcular a segunda linha de X (produtos escalares com r_2):
  • x_{21}=r_2\cdot c_1 = 1\cdot 1 + 0\cdot(-3) + 2\cdot 2 = 1 + 0 + 4 = 5.
  • x_{22}=r_2\cdot c_2 = 1\cdot 0 + 0\cdot 1 + 2\cdot(-4) = 0 + 0 -8 = -8.
  • x_{23}=r_2\cdot c_3 = 1\cdot 2 + 0\cdot 1 + 2\cdot 1 = 2 + 0 + 2 = 4.

Passo 7

Calcular a terceira linha de X (produtos escalares com r_3):
  • x_{31}=r_3\cdot c_1 = 4\cdot 1 + 1\cdot(-3) + 2\cdot 2 = 4 -3 + 4 = 5.
  • x_{32}=r_3\cdot c_2 = 4\cdot 0 + 1\cdot 1 + 2\cdot(-4) = 0 + 1 -8 = -7.
  • x_{33}=r_3\cdot c_3 = 4\cdot 2 + 1\cdot 1 + 2\cdot 1 = 8 + 1 + 2 = 11.

Passo 8

Reunindo todas as entradas calculadas, a matriz X é:
X=\begin{pmatrix} 5 & -6 & -7 \\[4pt] 5 & -8 & 4 \\[4pt] 5 & -7 & 11 \end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix} 5 & -6 & -7 \\[4pt] 5 & -8 & 4 \\[4pt] 5 & -7 & 11 \end{pmatrix}]

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