Encontre a Matriz \mathrm{A}=\left[a_{i j}\right], quadrada de ondem 3 em que a_{i j}=2 i^{2}+2 j^{2} e diga se A é uma Matriz Simétrica. (2 valores)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar a matriz quadrada de ordem 3 \mathrm{A}=[a_{ij}] cujos elementos são dados por \;a_{ij}=2i^{2}+2j^{2}\; para i,j=1,2,3.
  • Dizer se \mathrm{A} é uma matriz simétrica.
Informações relevantes fornecidas:
  • A ordem da matriz é 3, então i e j variam em \{1,2,3\}.
  • A fórmula que gera cada elemento é \;a_{ij}=2i^{2}+2j^{2}\;.

Passo 2

Vamos organizar os termos que aparecem na fórmula. Repare que a_{ij} é soma de uma parte que depende só de i e outra que depende só de j:
a_{ij}=2i^{2}+2j^{2} = \underbrace{2i^{2}}_{\text{depende só de }i}+\underbrace{2j^{2}}_{\text{depende só de }j}.óó
Calculemos primeiro os valores de 2i^{2} para i=1,2,3 e os de 2j^{2} (são os mesmos, só trocando i por j):
\begin{aligned} i=1 &\Rightarrow 2i^{2}=2\cdot1^{2}=2,\\\ i=2 &\Rightarrow 2i^{2}=2\cdot2^{2}=2\cdot4=8,\\\ i=3 &\Rightarrow 2i^{2}=2\cdot3^{2}=2\cdot9=18. \end{aligned}

Passo 3

Agora calculamos a primeira linha da matriz, ou seja i=1 e j=1,2,3.
  • Para i=1,j=1:
a_{11}=2\cdot1^{2}+2\cdot1^{2}=2+2=4.
  • Para i=1,j=2:
a_{12}=2\cdot1^{2}+2\cdot2^{2}=2+8=10.
  • Para i=1,j=3:
a_{13}=2\cdot1^{2}+2\cdot3^{2}=2+18=20.

Passo 4

Calculamos a segunda linha, i=2 e j=1,2,3.
  • Para i=2,j=1:
a_{21}=2\cdot2^{2}+2\cdot1^{2}=8+2=10.
  • Para i=2,j=2:
a_{22}=2\cdot2^{2}+2\cdot2^{2}=8+8=16.
  • Para i=2,j=3:
a_{23}=2\cdot2^{2}+2\cdot3^{2}=8+18=26.

Passo 5

Calculamos a terceira linha, i=3 e j=1,2,3.
  • Para i=3,j=1:
a_{31}=2\cdot3^{2}+2\cdot1^{2}=18+2=20.
  • Para i=3,j=2:
a_{32}=2\cdot3^{2}+2\cdot2^{2}=18+8=26.
  • Para i=3,j=3:
a_{33}=2\cdot3^{2}+2\cdot3^{2}=18+18=36.

Passo 6

Agora montamos a matriz \mathrm{A} com os elementos calculados nas etapas anteriores:
\mathrm{A}=\begin{bmatrix} 4 & 10 & 20\\[4pt] 10 & 16 & 26\\[4pt] 20 & 26 & 36 \end{bmatrix}.]

Passo 7

Definição de matriz simétrica e verificação: uma matriz \mathrm{A}=[a_{ij}] é simétrica se valem a_{ij}=a_{ji} para todo i,j (ou, equivalentemente, \mathrm{A}^{T}=\mathrm{A}). Pela fórmula do enunciado temos, para quaisquer i,j,
a_{ij}=2i^{2}+2j^{2}=2j^{2}+2i^{2}=a_{ji}.
Portanto todos os elementos espelhados são iguais ( a_{12}=a_{21}=10, a_{13}=a_{31}=20, a_{23}=a_{32}=26, etc.), logo \mathrm{A} é simétrica.

Resposta

\mathrm{A}=\begin{bmatrix} 4 & 10 & 20\\[4pt] 10 & 16 & 26\\[4pt] 20 & 26 & 36 \end{bmatrix}
Sim]

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