Sejam as matrizes: A=\left(a_{i j}\right)_{2 \times 2} em que a_{i j}=2 i-3 j, e B=\left(b_{i j}\right)_{2 \times 2} em que b_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}i-j ; & i \leq j \\\ i+j ; & i>j\end{array}\right.. Sendo B^{t} é a matriz transposta de B, determine a matriz A-B^{t}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a matriz
A - B^{t}\), onde \(A=(a_{ij})_{2\times2}\) com \[a_{ij} = 2i - 3j
e B=(b_{ij})_{2\times2} com
b_{ij} = \begin{cases} i - j, & i \le j,\\\ i + j, & i > j. \end{cases}
Precisamos então (1) achar A\], (2) achar \(B, (3) transpor B e (4) subtrair B^{t} de A.

Passo 2

Vamos calcular todos os elementos de A. Para i,j\in\{1,2\}:
a_{11} = 2\cdot1 - 3\cdot1 = -1,\quad a_{12} = 2\cdot1 - 3\cdot2 = -4,
a_{21} = 2\cdot2 - 3\cdot1 = 1,\quad a_{22} = 2\cdot2 - 3\cdot2 = -2.
Logo,
A = \begin{pmatrix} -1 & -4\\\\ 1 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora os elementos de B. Para i,j\in\{1,2\}:
  • b_{11}: como 1\le1, temos b_{11}=1-1=0.
  • b_{12}: como 1\le2, temos b_{12}=1-2=-1.
  • b_{21}: como 2>1, temos b_{21}=2+1=3.
  • b_{22}: como 2\le2, temos b_{22}=2-2=0.
    Portanto,
B = \begin{pmatrix} 0 & -1\\\\ 3 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

A transposta B^{t} troca linhas por colunas, então
B^{t} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{21}\\\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3\\\\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente, subtraímos termo a termo:
A - B^{t} = \begin{pmatrix} -1 & -4\\\\ 1 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 3\\\\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1-0 & -4-3\\\\ 1-(-1) & -2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -7\\\\ 2 & -2 \end{pmatrix}.

Resposta

A - B^{t} = \begin{pmatrix} -1 & -7\\\\ 2 & -2 \end{pmatrix}.

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