Sejam as matrizes de transformação abaixo. Identifique se T é injetora, sobrejetora ou ambos.
\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\\\ -1 & 1 & 3\end{array}\right]
Utilize o fato de que o posto e a nulidade de
T são iguais a \operatorname{dim}(\operatorname{Im} T) e \operatorname{dim}(\operatorname{ker} T), respectivamente.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de transformação linear
A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 1 \\[4pt] -1 & 1 & 3\end{pmatrix}
que representa uma aplicação linear T (implicitamente) de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^2. A pergunta é: identificar se T é injetora, sobrejetora ou ambos, usando que o posto e a nulidade de T são \dim(\operatorname{Im}T) e \dim(\ker T), respectivamente.]

Passo 2

Plano de ataque e conceitos que vamos usar (curtinho e direto):
  • A dimensão do domínio é \dim(\mathbb{R}^3)=3 e a do contradomínio é \dim(\mathbb{R}^2)=2.
  • O posto de A é \operatorname{rank}(A)=\dim(\operatorname{Im}T). Para encontrar o posto fazemos redução de linhas e contamos pivôs (linhas não nulas independentes).
  • O teorema posto-nulidade (rank–nullity) diz
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T)=\dim(\text{domínio})=3.í
  • Critérios:
    • T é injetora se, e só se, \dim(\ker T)=0.
    • T é sobrejetora se, e só se, \dim(\operatorname{Im}T)=\dim(\mathbb{R}^2)=2.

Passo 3

Calcular o posto de A por redução de linhas (mostrando as operações):
\begin{pmatrix}2 & 0 & 1 \\[4pt] -1 & 1 & 3\end{pmatrix} \stackrel{R_2\leftarrow R_2+\tfrac{1}{2}R_1}{\longrightarrow} \begin{pmatrix}2 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{7}{2}\end{pmatrix}.
Na matriz reduzida temos duas linhas não nulas e com pivôs em colunas diferentes, portanto há dois pivôs. Logo
\operatorname{rank}(A)=2.
Portanto \dim(\operatorname{Im}T)=2.]

Passo 4

Usar posto–nulidade para achar a nulidade (dimensão do núcleo):
\dim(\ker T)=\dim(\text{domínio})-\dim(\operatorname{Im}T)=3-2=1.í
Isto significa que o núcleo de T\) tem dimensão \(1\) (existe um vetor não nulo que \(T\) envia para \(0\)), logo \(T\) não é injetora. Para ver explicitamente o núcleo, resolvemos \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\). Escrevendo o sistema: \[\begin{cases} 2x_1 + x_3 = 0,\\[4pt] - x_1 + x_2 + 3x_3 = 0. \end{cases}
Escolhendo x_3=t\] como parâmetro, da primeira equação vem \(x_1=-\tfrac{1}{2}t. Substituindo na segunda:
-\bigl(-\tfrac{1}{2}t\bigr) + x_2 + 3t = 0 \quad\Rightarrow\quad x_2 = -\tfrac{7}{2}t.
Assim
\mathbf{x}=t\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} \\[4pt] -\tfrac{7}{2} \\[4pt] 1\end{pmatrix} = \frac{t}{2}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-7\\[4pt]2\end{pmatrix},
confirmando que \ker T é gerado por \begin{pmatrix}-1\\\ -7\\\ 2\end{pmatrix} e tem dimensão 1.]

Passo 5

Determinar sobrejetividade: como \dim(\operatorname{Im}T)=2 e a dimensão do contradomínio \mathbb{R}^2 também é 2, segue que \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^2. Portanto T é sobrejetora.

Passo 6

Conclusão combinando os resultados:
  • \dim(\ker T)=1 (não zero) \Rightarrow T não é injetora.
  • \dim(\operatorname{Im}T)=2=\dim(\mathbb{R}^2) \Rightarrow T é sobrejetora.

Resposta

T é sobrejetora e não é injetora.

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