Sejam as matrizes de transformação abaixo. Identifique se T é injetora, sobrejetora ou ambos. \left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\\\ -1 & 1 & 3\end{array}\right]
Utilize o fato de que o posto e a nulidade de
T são iguais a \operatorname{dim}(\operatorname{Im} T) e \operatorname{dim}(\operatorname{ker} T), respectivamente.
que representa uma aplicação linear T (implicitamente) de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^2. A pergunta é: identificar se T é injetora, sobrejetora ou ambos, usando que o posto e a nulidade de T são \dim(\operatorname{Im}T) e \dim(\ker T), respectivamente.]
Passo 2
Plano de ataque e conceitos que vamos usar (curtinho e direto):
A dimensão do domínio é \dim(\mathbb{R}^3)=3 e a do contradomínio é \dim(\mathbb{R}^2)=2.
O posto de A é \operatorname{rank}(A)=\dim(\operatorname{Im}T). Para encontrar o posto fazemos redução de linhas e contamos pivôs (linhas não nulas independentes).
Isto significa que o núcleo de T\) tem dimensão \(1\) (existe um vetor não nulo que \(T\) envia para \(0\)), logo \(T\) não é injetora. Para ver explicitamente o núcleo, resolvemos \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\). Escrevendo o sistema:
\[\begin{cases} 2x_1 + x_3 = 0,\\[4pt] - x_1 + x_2 + 3x_3 = 0. \end{cases}
Escolhendo x_3=t\] como parâmetro, da primeira equação vem \(x_1=-\tfrac{1}{2}t. Substituindo na segunda:
confirmando que \ker T é gerado por \begin{pmatrix}-1\\\ -7\\\ 2\end{pmatrix} e tem dimensão 1.]
Passo 5
Determinar sobrejetividade: como \dim(\operatorname{Im}T)=2 e a dimensão do contradomínio \mathbb{R}^2 também é 2, segue que \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^2. Portanto T é sobrejetora.
Passo 6
Conclusão combinando os resultados:
\dim(\ker T)=1 (não zero) \RightarrowT não é injetora.
\dim(\operatorname{Im}T)=2=\dim(\mathbb{R}^2)\RightarrowT é sobrejetora.