Use o teo. do núcleo e da imagem para decidir se verdadeiro ou falso.
A imagem de uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{5} tem dimensão 4 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que se decida verdadeiro ou falso:
  • Há uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{5}.
  • A imagem de T tem dimensão 4.
    A pergunta é: essa afirmação é verdadeira ou falsa?

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significam núcleo e imagem, de forma bem direta.
  • O núcleo de T, escrito \ker T, é o conjunto de vetores de \mathbb{R}^{3} que vão para o vetor zero em \mathbb{R}^{5}. Em símbolos:
\ker T = \{v\in\mathbb{R}^{3} \mid T(v)=0\}.
  • A imagem de T, escrita \mathrm{im}\,T, é o conjunto de vetores de \mathbb{R}^{5} que são atingidos por T:
\mathrm{im}\,T = \{T(v)\in\mathbb{R}^{5} \mid v\in\mathbb{R}^{3}\}.
Quando dizemos “dimensão” de \ker T ou de \mathrm{im}\,T, estamos falando do número de vetores de uma base desses subespaços (ou seja, quantas direções independentes existem ali).

Passo 3

Agora a ferramenta central: o teorema da dimensão (também chamado de teorema do núcleo e da imagem ou rank–nullity). Ele diz o seguinte para uma transformação linear entre espaços vetoriais finito-dimensionais:
\dim(\text{domínio}) = \dim(\ker T) + \dim(\mathrm{im}\,T).í
Aqui cada termo significa:
  • \dim(\text{domínio})í é a dimensão do espaço de partida (no nosso caso \mathbb{R}^{3}, logo \dim(\text{domínio})=3í);
  • \dim(\ker T) é chamada nulidade (nullity), o número de direções que vão para zero;
  • \dim(\mathrm{im}\,T) é chamada posto (rank), o número de direções independentes alcançadas na imagem.
Esse teorema é fundamental porque conecta quantas direções “se perdem” (núcleo) com quantas ficam “ativas” (imagem).

Passo 4

Aplique o teorema ao nosso caso. O domínio é \mathbb{R}^{3}, então:
\dim(\mathbb{R}^{3}) = 3 = \dim(\ker T) + \dim(\mathrm{im}\,T).
Se a afirmação do enunciado fosse verdadeira teríamos \dim(\mathrm{im}\,T)=4. Substituindo:
3 = \dim(\ker T) + 4.
Isso implica
\dim(\ker T) = 3-4 = -1.
Mas dimensão é um número não negativo (não existe subespaço com dimensão negativa). Portanto chegamos a uma contradição: não é possível ter \dim(\mathrm{im}\,T)=4.

Passo 5

Outra maneira rápida de ver é usar um limite óbvio: o posto (dimensão da imagem) nunca pode exceder a dimensão do domínio. Em fórmula:
\dim(\mathrm{im}\,T)\le \dim(\text{domínio})=\dim(\mathbb{R}^{3})=3.í
Também se tem \dim(\mathrm{im}\,T)\le \dim(\text{codomínio})=\dim(\mathbb{R}^{5})=5í, então no geral
\dim(\mathrm{im}\,T)\le\min(3,5)=3.
Assim, 4 é impossível.

Passo 6

Intuição final e exemplo: pensando em T como multiplicação por uma matriz A de tamanho 5\times3, o posto de A (que é a dimensão da imagem) é no máximo o número de colunas, que é 3. Logo nunca se consegue imagem de dimensão 4. Um caso possível é ter imagem de dimensão 3 (posto máximo), por exemplo se A tiver três colunas linearmente independentes.

Resposta

Falso.

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