Use o teo. do núcleo e da imagem para decidir se verdadeiro ou falso.
A imagem de uma transformação linear
tem dimensão 4 .
A imagem de uma transformação linear
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que se decida verdadeiro ou falso:
- Há uma transformação linear
. - A imagem de
tem dimensão .
A pergunta é: essa afirmação é verdadeira ou falsa?
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significam núcleo e imagem, de forma bem direta.
- O núcleo de
, escrito , é o conjunto de vetores de que vão para o vetor zero em . Em símbolos:
- A imagem de
, escrita , é o conjunto de vetores de que são atingidos por :
Quando dizemos “dimensão” de
ou de
, estamos falando do número de vetores de uma base desses subespaços (ou seja, quantas direções independentes existem ali).
Passo 3
Agora a ferramenta central: o teorema da dimensão (também chamado de teorema do núcleo e da imagem ou rank–nullity). Ele diz o seguinte para uma transformação linear entre espaços vetoriais finito-dimensionais:
Aqui cada termo significa:
-
é a dimensão do espaço de partida (no nosso caso , logo ); -
é chamada nulidade (nullity), o número de direções que vão para zero; -
é chamada posto (rank), o número de direções independentes alcançadas na imagem.
Esse teorema é fundamental porque conecta quantas direções “se perdem” (núcleo) com quantas ficam “ativas” (imagem).
Passo 4
Aplique o teorema ao nosso caso. O domínio é
, então:
Se a afirmação do enunciado fosse verdadeira teríamos
. Substituindo:
Isso implica
Mas dimensão é um número não negativo (não existe subespaço com dimensão negativa). Portanto chegamos a uma contradição: não é possível ter
.
Passo 5
Outra maneira rápida de ver é usar um limite óbvio: o posto (dimensão da imagem) nunca pode exceder a dimensão do domínio. Em fórmula:
Também se tem
, então no geral
Assim, 4 é impossível.
Passo 6
Intuição final e exemplo: pensando em
como multiplicação por uma matriz
de tamanho
, o posto de
(que é a dimensão da imagem) é no máximo o número de colunas, que é
. Logo nunca se consegue imagem de dimensão
. Um caso possível é ter imagem de dimensão
(posto máximo), por exemplo se
tiver três colunas linearmente independentes.
Resposta
Falso.