e pede para identificar se T é injetora, sobrejetora ou ambos. Vou entender que A representa a transformação linear
T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3
na base canônica (porque a matriz tem 3 linhas e 4 colunas). Informações importantes dadas:
A matriz tem tamanho 3\times4.
O enunciado lembra que \operatorname{rank}(T)=\dim(\operatorname{Im}T) e \operatorname{nullity}(T)=\dim(\ker T).
O objetivo é decidir injetividade e sobrejetividade de T.]
Passo 2
Definições e teorema que serão usados (explicados de forma direta):
Uma transformação linear T é injetora se e somente se \ker T=\{0\}. Em termos de dimensão: T é injetora \iff \dim(\ker T)=0.
T é sobrejetora se e somente se \operatorname{Im}T= todo o espaço alvo. Como o alvo é \mathbb{R}^3, isso equivale a \dim(\operatorname{Im}T)=3.
Teorema do posto-nulidade (rank–nullity): para T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m vale
As primeiras três colunas são vetores que têm componentes não nulas em posições distintas (cada uma “ativa” em uma coordenada diferente), logo são linearmente independentes. A quarta coluna é o vetor zero, que não acrescenta dimensão ao span. Portanto as colunas geram um subespaço de dimensão 3, isto é,
Calcular a nulidade (dimensão do núcleo) usando posto-nulidade:
\dim(\ker T)=4-\dim(\operatorname{Im}T)=4-3=1.
Como \dim(\ker T)=1\) (maior que zero), \(T\) não é injetora. Para ficar concreto, podemos resolver \(A x=0\) com \(x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\). A equação dá
\[\begin{cases} x_1=0,\\[4pt] 2x_2=0\Rightarrow x_2=0,\\[4pt] 3x_3=0\Rightarrow x_3=0, \end{cases}
e x_4\] é livre. Assim
\[\ker T=\operatorname{span}\{(0,0,0,1)\},\]
confirmando nulidade \(1 e mostrando explicitamente que existe um vetor não-nulo no núcleo, então T não é injetora.]
Passo 5
Verificar sobrejetividade. O codominio é \mathbb{R}^3 e já encontramos \dim(\operatorname{Im}T)=3. Como \dim(\operatorname{Im}T)=\dim(\mathbb{R}^3), segue que \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^3. Outra maneira intuitiva de ver isso: as colunas c_1,c_2,c_3 são múltiplos dos vetores canônicos e_1,e_2,e_3 (especificamente c_1=e_1,\;c_2=2e_2,\;c_3=3e_3), então qualquer vetor (a,b,c)\in\mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear dessas colunas, portanto as colunas geram todo \mathbb{R}^3. Logo T é sobrejetora.
Passo 6
Conclusão combinada, com interpretação: \dim(\ker T)=1>0 então T não é injetora; \dim(\operatorname{Im}T)=3=\dim(\mathbb{R}^3) então T é sobrejetora. Em palavras amigáveis: a transformação “alcança” todo o espaço de saída, mas não é única na pré-imagem (há uma direção livre em que diferentes vetores do domínio vão para o mesmo vetor no contradomínio).