Sejam as matrizes de transformação abaixo. Identifique se T é injetora, sobrejetora ou ambos.
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 & 0\end{array}\right]
Utilize o fato de que o posto e a nulidade de
T são iguais a \operatorname{dim}(\operatorname{Im} T) e \operatorname{dim}(\operatorname{ker} T), respectivamente.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}
e pede para identificar se T é injetora, sobrejetora ou ambos. Vou entender que A representa a transformação linear
T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3
na base canônica (porque a matriz tem 3 linhas e 4 colunas). Informações importantes dadas:
  • A matriz tem tamanho 3\times4.
  • O enunciado lembra que \operatorname{rank}(T)=\dim(\operatorname{Im}T) e \operatorname{nullity}(T)=\dim(\ker T).
    O objetivo é decidir injetividade e sobrejetividade de T.]

Passo 2

Definições e teorema que serão usados (explicados de forma direta):
  • Uma transformação linear T é injetora se e somente se \ker T=\{0\}. Em termos de dimensão: T é injetora \iff \dim(\ker T)=0.
  • T é sobrejetora se e somente se \operatorname{Im}T= todo o espaço alvo. Como o alvo é \mathbb{R}^3, isso equivale a \dim(\operatorname{Im}T)=3.
  • Teorema do posto-nulidade (rank–nullity): para T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m vale
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T)=\dim(\text{domínio})=n.í
Aqui o domínio é \mathbb{R}^4, então n=4. Vou usar esses fatos para decidir injetividade e sobrejetividade.

Passo 3

Calcular o posto (rank) \dim(\operatorname{Im}T). Olhando para as colunas de A:
c_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\qquad c_2=\begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix},\qquad c_3=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix},\qquad c_4=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
As primeiras três colunas são vetores que têm componentes não nulas em posições distintas (cada uma “ativa” em uma coordenada diferente), logo são linearmente independentes. A quarta coluna é o vetor zero, que não acrescenta dimensão ao span. Portanto as colunas geram um subespaço de dimensão 3, isto é,
\dim(\operatorname{Im}T)=\operatorname{rank}(A)=3.

Passo 4

Calcular a nulidade (dimensão do núcleo) usando posto-nulidade:
\dim(\ker T)=4-\dim(\operatorname{Im}T)=4-3=1.
Como \dim(\ker T)=1\) (maior que zero), \(T\) não é injetora. Para ficar concreto, podemos resolver \(A x=0\) com \(x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\). A equação dá \[\begin{cases} x_1=0,\\[4pt] 2x_2=0\Rightarrow x_2=0,\\[4pt] 3x_3=0\Rightarrow x_3=0, \end{cases}
e x_4\] é livre. Assim \[\ker T=\operatorname{span}\{(0,0,0,1)\},\] confirmando nulidade \(1 e mostrando explicitamente que existe um vetor não-nulo no núcleo, então T não é injetora.]

Passo 5

Verificar sobrejetividade. O codominio é \mathbb{R}^3 e já encontramos \dim(\operatorname{Im}T)=3. Como \dim(\operatorname{Im}T)=\dim(\mathbb{R}^3), segue que \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^3. Outra maneira intuitiva de ver isso: as colunas c_1,c_2,c_3 são múltiplos dos vetores canônicos e_1,e_2,e_3 (especificamente c_1=e_1,\;c_2=2e_2,\;c_3=3e_3), então qualquer vetor (a,b,c)\in\mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear dessas colunas, portanto as colunas geram todo \mathbb{R}^3. Logo T é sobrejetora.

Passo 6

Conclusão combinada, com interpretação: \dim(\ker T)=1>0 então T não é injetora; \dim(\operatorname{Im}T)=3=\dim(\mathbb{R}^3) então T é sobrejetora. Em palavras amigáveis: a transformação “alcança” todo o espaço de saída, mas não é única na pré-imagem (há uma direção livre em que diferentes vetores do domínio vão para o mesmo vetor no contradomínio).

Resposta

T é sobrejetora, mas não injetora.

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