Sejam x, y e z números reais com aproximações \bar{x}=1.02, \bar{y}=2.11 \mathrm{e} \bar{z}=1.77, e cujos erros absolutos são E A_{x}=0.01, E A_{y}=0.21 e E A_{z}=0.2.
a) Deduza uma fórmula para o erro absoluto total E A (em função de E A_{x}, E A_{y}, E A_{z}, \bar{x}, \bar{y} e \bar{z} ) quando aproximamos o valor de \left(x^{2}+y^{2}\right) z por \left(\bar{x}^{2}+\bar{y}^{2}\right) \bar{z}.
b) Calcule o valor dos erros absoluto E A e relativo E R totais.
Dica para o item a): Em cada operação que se faz para calcular \left(\bar{x}^{2}+\bar{y}^{2}\right) \bar{z} existe um erro associado à ela. Por exemplo, para calcular \bar{x}^{2}=\bar{x} \cdot \bar{x} existe um erro absoluto E A_{x^{2}} associado a essa operação. Calcule sucessivamente os erros associados com cada operação efetuada em \left(\bar{x}^{2}+\bar{y}^{2}\right) \bar{z} até o obter o erro total E A.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
f(x,y,z) = (x^2 + y^2)\,z
por
\bar f = (\bar x^2 + \bar y^2)\,\bar z
sabendo que \bar x=1.02, \bar y=2.11, \bar z=1.77 e que os erros absolutos são EA_x=0.01, EA_y=0.21 e EA_z=0.2.
Para deduzir o erro absoluto total EA vamos usar as regras de propagação de erro:
  1. Se w = u+v então EA_w = EA_u + EA_v.
  2. Se w = u\cdot v então EA_w = |u|\,EA_v + |v|\,EA_u.

Passo 2

Calcular o erro absoluto em \bar x^2 = \bar x \cdot \bar x. Aplicando a regra do produto:
EA_{x^2} = |\bar x|\,EA_x + |\bar x|\,EA_x = 2\,|\bar x|\,EA_x.
Substituindo \bar x=1.02 e EA_x=0.01:
EA_{x^2} = 2\cdot1.02\cdot0.01 = 0.0204.

Passo 3

Calcular o erro absoluto em \bar y^2 = \bar y \cdot \bar y. Similarmente:
EA_{y^2} = 2\,|\bar y|\,EA_y = 2\cdot2.11\cdot0.21 = 0.8862.

Passo 4

Agora somamos \bar x^2 e \bar y^2. Pelo critério da soma:
EA_{x^2+y^2} = EA_{x^2} + EA_{y^2} = 0.0204 + 0.8862 = 0.9066.

Passo 5

Finalmente multiplicamos (\bar x^2+\bar y^2) por \bar z. Pelo produto:
EA = |\,\bar x^2 + \bar y^2\,|\,EA_z \;+\; |\bar z|\,EA_{x^2+y^2}.
Aqui \bar x^2 + \bar y^2 = 1.02^2 + 2.11^2 = 1.0404 + 4.4521 = 5.4925.

Passo 6

Substituindo os valores:
EA = 5.4925\cdot0.2 \;+\; 1.77\cdot0.9066 = 1.0985 \;+\; 1.6047 = 2.7032\quad(\text{aprox.}).
O valor aproximado de \bar f é
\bar f = 5.4925 \times 1.77 = 9.7247.

Passo 7

O erro relativo total é
ER = \frac{EA}{|\bar f|} = \frac{2.7032}{9.7247} \approx 0.2781\quad(\text{ou }27{,}81\%).

Resposta

(a) A fórmula geral do erro absoluto é
EA = \bigl|\bar x^2 + \bar y^2\bigr|\,EA_z \;+\; \bigl|\bar z\bigr|\bigl(2\,|\bar x|\,EA_x + 2\,|\bar y|\,EA_y\bigr).
(b) Numericamente,
EA \approx 2.7032, \qquad ER \approx 0.2781\;(27{,}81\%).

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