Sejam
e
números reais com aproximações
, e cujos erros absolutos são
e
.
a) Deduza uma fórmula para o erro absoluto total
(em função de
,
e
) quando aproximamos o valor de
por
.
b) Calcule o valor dos erros absoluto
e relativo
totais.
Dica para o item a): Em cada operação que se faz para calcular
existe um erro associado à ela. Por exemplo, para calcular
existe um erro absoluto
associado a essa operação. Calcule sucessivamente os erros associados com cada operação efetuada em
até o obter o erro total
.
a) Deduza uma fórmula para o erro absoluto total
b) Calcule o valor dos erros absoluto
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
por
sabendo que
,
,
e que os erros absolutos são
,
e
.
Para deduzir o erro absoluto total vamos usar as regras de propagação de erro:
Para deduzir o erro absoluto total
- Se
então . - Se
então .
Passo 2
Calcular o erro absoluto em
. Aplicando a regra do produto:
Substituindo
e
:
Passo 3
Calcular o erro absoluto em
. Similarmente:
Passo 4
Agora somamos
e
. Pelo critério da soma:
Passo 5
Finalmente multiplicamos
por
. Pelo produto:
Aqui
.
Passo 6
Substituindo os valores:
O valor aproximado de
é
Passo 7
O erro relativo total é
Resposta
(a) A fórmula geral do erro absoluto é
(b) Numericamente,