Considere o sistema de aritmética de ponto flutuante S[10,4,-9,9] e sejam x= 0.09913454 e y=2845.120013.
a) Escreva esses números no sistema S[10,4,-9,9], fazendo aproximações por arredondamento, se necessário, e calcule estimativas para os erros absoluto e relativo de arredondamento desses números.
b) Calcule x y e \frac{y}{x}, e escreva esses números no sistema S[10,4,-9,9].
c) Sejam \bar{x}=0.09 e \bar{y}=2845 aproximações para x e y, respectivamente. Calcule os erros absolutos e relativos E A_{x}, E A_{y}, E R_{x} e E R_{y}.
d) Calcule E A_{x y}, E R_{x y}, E A_{x / y} e E R_{x / y}.

Passo 1

O enunciado define o sistema de ponto flutuante S[10,4,-9,9], ou seja, base 10, mantissa normalizada com 4 dígitos e expoentes em [-9,9]. Temos os números exatos
x = 0,09913454, \quad y = 2845,120013.
Vamos:
  1. representar x e y em S[10,4,-9,9] por arredondamento e estimar seus erros de arredondamento;
  2. calcular x\,y e \tfrac{y}{x} e armazenar no sistema S;
  3. comparar com as aproximações \bar x=0,09 e \bar y=2845 e obter erros absolutos e relativos;
  4. por fim, obter erros absolutos e relativos nas operações x\,y e \tfrac{y}{x}.

Passo 2

Representação de x. Escrevemos
x = 0,09913454 = 9{,}913454\times10^{-2}.
Arredondando para 4 dígitos na mantissa (o quinto dígito é 4<5), obtemos
\mathrm{fl}(x) = 9{,}913\times10^{-2} = 0,09913.
O erro absoluto de arredondamento é
E_A(x) = |\,x - \mathrm{fl}(x)| = |\,0{,}09913454 - 0{,}09913| = 4{,}54\times10^{-6},
e o erro relativo é
E_R(x) = \frac{E_A(x)}{|x|} \approx \frac{4{,}54\times10^{-6}}{0{,}09913454} \approx 4{,}58\times10^{-5}.

Passo 3

Representação de y. Escrevemos
y = 2845{,}120013 = 2{,}845120013\times10^{3}.
Arredondando para 4 dígitos (o quinto dígito é 1<5), obtemos
\mathrm{fl}(y) = 2{,}845\times10^{3} = 2845.
O erro absoluto é
E_A(y) = |\,2845{,}120013 - 2845| = 0{,}120013,
e o erro relativo é
E_R(y) = \frac{0{,}120013}{2845{,}120013} \approx 4{,}22\times10^{-5}.

Passo 4

Cálculo de x\,y. O valor exato aproximado vale
x\,y \approx 282{,}04966.
Em notação normalizada:
x\,y = 2{,}8204966\times10^{2}.
Arredondando a 4 dígitos 5^\mathrm{o} dígito é 4<5:
\mathrm{fl}(x\,y) = 2{,}820\times10^{2} = 282{,}0.

Passo 5

Cálculo de \tfrac{y}{x}. O valor exato aproximado vale
\frac{y}{x} \approx 2{,}86996947\times10^{4}.
Arredondando a 4 dígitos (o 5^\mathrm{o} dígito é 9\ge5):
\mathrm{fl}\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) = 2{,}870\times10^{4} = 28700.

Passo 6

Erros para as aproximações \bar x=0,09 e \bar y=2845:
E_A(\bar x) = |\,x - \bar x| = |\,0{,}09913454 - 0{,}09| = 0{,}00913454, \quad E_R(\bar x) = \frac{0{,}00913454}{0{,}09913454}\approx0{,}09216.
E_A(\bar y) = |\,y - \bar y| = |\,2845{,}120013 - 2845| = 0{,}120013, \quad E_R(\bar y) = \frac{0{,}120013}{2845{,}120013}\approx4{,}22\times10^{-5}.

Passo 7

Erros nas operações usando valores exatos aproximados:
E_A(x\,y) = |\,x\,y - \mathrm{fl}(x\,y)| = |\,282{,}04966 - 282{,}0| = 0{,}04966, \quad E_R(x\,y) = \frac{0{,}04966}{282{,}04966}\approx1{,}76\times10^{-4}.
E_A\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) = |\,\tfrac{y}{x} - \mathrm{fl}(\tfrac{y}{x})| = |\,28699{,}6947 - 28700| = 0{,}3053,
E_R\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) = \frac{0{,}3053}{28699{,}6947}\approx1{,}06\times10^{-5}.

Resposta

a) \mathrm{fl}(x)=9{,}913\times10^{-2}=0{,}09913,\\ E_A(x)=4{,}54\times10^{-6},\\ E_R(x)\approx4{,}58\times10^{-5}. \mathrm{fl}(y)=2{,}845\times10^{3}=2845,\\ E_A(y)=0{,}120013,\\ E_R(y)\approx4{,}22\times10^{-5}.
b) \mathrm{fl}(x\,y)=2{,}820\times10^{2}=282{,}0,\quad \mathrm{fl}\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)=2{,}870\times10^{4}=28700.
c) E_A(\bar x)=0{,}00913454,\\ E_R(\bar x)\approx0{,}09216;\quad E_A(\bar y)=0{,}120013,\\ E_R(\bar y)\approx4{,}22\times10^{-5}.
d) E_A(x\,y)=0{,}04966,\\ E_R(x\,y)\approx1{,}76\times10^{-4};\quad E_A(\tfrac{y}{x})=0{,}3053,\\ E_R(\tfrac{y}{x})\approx1{,}06\times10^{-5}.

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