Calcule as derivadas \frac{d y}{d x} das funções abaixo.
y=\frac{x \cdot e^{x}}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a derivada \dfrac{d y}{d x} da função dada. A função fornecida é
y=\frac{x\cdot e^{x}}{x^{2}+1}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{função } y(x)=\frac{x e^{x}}{x^{2}+1}.çã
A única pergunta é: calcular \dfrac{d y}{d x}.

Passo 2

Vou usar a regra do quociente, porque a função é uma razão (uma fração) entre duas funções. A regra do quociente diz o seguinte:
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}},
onde u=u(x) e v=v(x) são funções de x, e u' e v' são as derivadas de u e v em relação a x. Aqui identifico
u(x)=x\cdot e^{x},\qquad v(x)=x^{2}+1.

Passo 3

Preciso das derivadas u' e v'.
Para u(x)=x\cdot e^{x} uso a regra do produto: se p(x)=f(x)g(x) então
p'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
No caso f(x)=x e g(x)=e^{x}. Sabemos que f'(x)=1 e g'(x)=e^{x} (a derivada de e^{x} é e^{x}). Assim
u'(x)=1\cdot e^{x}+x\cdot e^{x}=e^{x}+x e^{x}=e^{x}(1+x).
Para v(x)=x^{2}+1 a derivada é a soma das derivadas:
v'(x)=2x+0=2x.

Passo 4

Agora aplico a regra do quociente:
\frac{dy}{dx}=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{\big(e^{x}(1+x)\big)\big(x^{2}+1\big)-\big(x e^{x}\big)\big(2x\big)}{(x^{2}+1)^{2}}.
Posso simplificar o numerador fatorando e^{x} (pois aparece em todos os termos):
\frac{dy}{dx}=\frac{e^{x}\left[(1+x)(x^{2}+1)-2x^{2}\right]}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 5

Agora desenvolvo e simplifico o que está entre colchetes:
(1+x)(x^{2}+1)=x^{2}+1+x^{3}+x=x^{3}+x^{2}+x+1.
Subtraindo 2x^{2} obtemos
x^{3}+x^{2}+x+1-2x^{2}=x^{3}-x^{2}+x+1.
Portanto a derivada final fica
\frac{dy}{dx}=\frac{e^{x}\big(x^{3}-x^{2}+x+1\big)}{(x^{2}+1)^{2}}.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{e^{x}\big(x^{3}-x^{2}+x+1\big)}{(x^{2}+1)^{2}}

Exercícios relacionados