Considere a função
. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação do plano tangente ao gráfico da função $ f(x, y) = xy - \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ no ponto
. Para isso, vamos usar derivadas parciais e entender um pouco sobre como funciona o plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de $ f(3, 4) $. Vamos substituir $ x = 3 $ e $ y = 4 $ na função:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função $ f $ em relação a $ x $ e a $ y $. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 4
Vamos calcular esses derivados no ponto
:
Primeiro, para $ f_{x}(3, 4) $:
Agora, para $ f_{y}(3, 4) $:
Passo 5
Com esses valores, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula do plano tangente é:
Substituindo $ a = 3 $, $ b = 4 $, $ f(3, 4) = 7 $, $ f_{x}(3, 4) = 3,4 $ e $ f_{y}(3, 4) = 2,2 $:
Vamos simplificar:
Resposta
A equação do plano tangente é: