Considere a função f(x, y)=x y-raizx^2+y^2. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (3,4, f(3,4) ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação do plano tangente ao gráfico da função $ f(x, y) = xy - \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ no ponto f(x, y) = xy - raizx^2 + y^2 . Para isso, vamos usar derivadas parciais e entender um pouco sobre como funciona o plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de $ f(3, 4) $. Vamos substituir $ x = 3 $ e $ y = 4 $ na função:
f(3, 4)
Então, o ponto de tangência é x = 3 .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função $ f $ em relação a $ x $ e a $ y $. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
x

Passo 4

Vamos calcular esses derivados no ponto (3, 4):
Primeiro, para $ f_{x}(3, 4) $:
fx(3, 4)
Agora, para $ f_{y}(3, 4) $:
fx(3, 4) = 4 - 3raiz3^2 + 4^2 = 4 - 35 = 4 - 0,6 = 3,4

Passo 5

Com esses valores, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula do plano tangente é:
z = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Substituindo $ a = 3 $, $ b = 4 $, $ f(3, 4) = 7 $, $ f_{x}(3, 4) = 3,4 $ e $ f_{y}(3, 4) = 2,2 $:
a = 3
Vamos simplificar:
b = 4
f(3, 4) = 7

Resposta

A equação do plano tangente é:
z = 3,4,x + 2,2,y - 12

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