(4,0 pontos) Considere o seguinte problema da corda vibrante com extremidades fixas
\left\{\begin{array}{l} u_{t t}=c^{2} u_{x x}, 0<x<L t>0 \\\ u(0, t)=u(L, t)=0, t \geq 0 \\\ u(x, 0)=f(x), 0 \leq x \leq L \\\ u_{t}(x, 0)=g(x), 0 \leq x \leq L \end{array}\right.
Aplique a técnica de separação de variáveis a este problema. Por questão de tempo,considere apenas o caso em que a constante gerada no método é negativa (prova-se que os outros casos são inviáveis). Além disso, admita que a série encontrada para a solução pode ser derivada termo a termo. Use a teoria das séries de Fourier para resolver este problema quando o comprimento da barra é \pi, u(x, 0)=\sin (x) e u_{t}(x, 0)=x.
Passo 1
O enunciado dá o problema da corda vibrante com extremidades fixas:
Depois a questão diz para resolver com L=\pi, f(x)=\sin(x) e g(x)=x. O enunciado pede que se aplique separação de variáveis, considere apenas o caso em que a constante de separação seja negativa (ou seja, levar a autovalores positivos) e use séries de Fourier para obter a solução. Informações úteis extraídas do enunciado:
comprimento L=\pi;
condição inicial de posição f(x)=\sin(x);
condição inicial de velocidade g(x)=x;
assumimos que a série solução pode ser diferenciada termo a termo (autoriza igualar coeficientes depois).]
Passo 2
Assumimos solução por separação de variáveis: \,u(x,t)=X(x)\,T(t)\,. Substituindo na equação da onda:
X(x)T''(t)=c^{2}X''(x)T(t).
Dividindo por c^{2}X(x)T(t) (assumindo X e T não nulos):
Chamamos essa constante de -\lambda. Aqui a convenção com sinal negativo é prática porque, com as condições de contorno fixas, os autovalores que geram modos não-triviais são positivos; isto é, tomaremos \lambda>0. (Os outros casos \lambda=0 e \lambda<0 levam apenas à solução trivial compatível com X(0)=X(\pi)=0; por exemplo, \lambda=0 dá X''=0 e com X(0)=X(\pi)=0 só X\equiv0.)
Avalie os termos: o primeiro é -\dfrac{\pi\cos(n\pi)}{n}+0. O segundo é \dfrac{1}{n}\left[\dfrac{\sin(n x)}{n}\right]_{0}^{\pi}=\dfrac{1}{n^2}\bigl(\sin(n\pi)-0\bigr)=0 porque \sin(n\pi)=0. Portanto
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_n\cos(c n t)+B_n\sin(c n t)\Bigr)\sin(n x),
com A_1=1, A_n=0 para n\ge2 e B_n=-\dfrac{2(-1)^{n}}{c n^{2}}. Assim podemos escrever a solução final como
u(x,t)=\cos(c t)\sin x \;+\;\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{2(-1)^{n}}{c n^{2}}\right)\sin(c n t)\sin(n x).
(Observação: o termo com n=1 aparece em ambas as partes: da parte com A_1 veio \cos(c t)\sin x, e na soma aparece também o correspondente B_1 no termo de seno.)
Resposta
u(x,t)=\cos(c t)\sin x \;-\;\frac{2}{c}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\sin(c n t)\sin(n x).