(4,0 pontos) Considere o seguinte problema da corda vibrante com extremidades fixas
\left\{\begin{array}{l} u_{t t}=c^{2} u_{x x}, 0<x<L t>0 \\\ u(0, t)=u(L, t)=0, t \geq 0 \\\ u(x, 0)=f(x), 0 \leq x \leq L \\\ u_{t}(x, 0)=g(x), 0 \leq x \leq L \end{array}\right.
Aplique a técnica de separação de variáveis a este problema. Por questão de tempo,considere apenas o caso em que a constante gerada no método é negativa (prova-se que os outros casos são inviáveis). Além disso, admita que a série encontrada para a solução pode ser derivada termo a termo. Use a teoria das séries de Fourier para resolver este problema quando o comprimento da barra é \pi, u(x, 0)=\sin (x) e u_{t}(x, 0)=x.

Passo 1

O enunciado dá o problema da corda vibrante com extremidades fixas:
\left\{\begin{array}{l} u_{t t}=c^{2} u_{x x},\quad 0<x<L,\\ t>0,\\[4pt] u(0, t)=u(L, t)=0,\quad t\ge 0,\\[4pt] u(x,0)=f(x),\quad 0\le x\le L,\\[4pt] u_{t}(x,0)=g(x),\quad 0\le x\le L. \end{array}\right.
Depois a questão diz para resolver com L=\pi, f(x)=\sin(x) e g(x)=x. O enunciado pede que se aplique separação de variáveis, considere apenas o caso em que a constante de separação seja negativa (ou seja, levar a autovalores positivos) e use séries de Fourier para obter a solução. Informações úteis extraídas do enunciado:
  • comprimento L=\pi;
  • condição inicial de posição f(x)=\sin(x);
  • condição inicial de velocidade g(x)=x;
  • assumimos que a série solução pode ser diferenciada termo a termo (autoriza igualar coeficientes depois).]

Passo 2

Assumimos solução por separação de variáveis: \,u(x,t)=X(x)\,T(t)\,. Substituindo na equação da onda:
X(x)T''(t)=c^{2}X''(x)T(t).
Dividindo por c^{2}X(x)T(t) (assumindo X e T não nulos):
\frac{T''(t)}{c^{2}T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=\text{constante}.
Chamamos essa constante de -\lambda. Aqui a convenção com sinal negativo é prática porque, com as condições de contorno fixas, os autovalores que geram modos não-triviais são positivos; isto é, tomaremos \lambda>0. (Os outros casos \lambda=0 e \lambda<0 levam apenas à solução trivial compatível com X(0)=X(\pi)=0; por exemplo, \lambda=0 X''=0 e com X(0)=X(\pi)=0 X\equiv0.)

Passo 3

Com \lambda>0 obtemos os dois EDOs:
X''(x)+\lambda X(x)=0, \qquad T''(t)+c^{2}\lambda T(t)=0.
Resolva primeiro o problema de autovalores em X com as condições X(0)=X(\pi)=0. A solução geral da EDO espacial é
X(x)=A\cos(\sqrt{\lambda}\,x)+B\sin(\sqrt{\lambda}\,x).
Aplicando X(0)=0 A=0. Então
X(x)=B\sin(\sqrt{\lambda}\,x).
Impondo X(\pi)=0 temos B\sin(\sqrt{\lambda}\,\pi)=0. Para ter solução não-trivial ( B\neq0) precisamos
\sin(\sqrt{\lambda}\,\pi)=0 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{\lambda}\,\pi = n\pi,\quad n=1,2,\dots
Assim \sqrt{\lambda}=n e
\lambda_n = n^{2},\qquad X_n(x)=\sin(nx),\quad n=1,2,\dots

Passo 4

Agora a equação temporal para cada modo n é
T_n''(t)+c^{2}n^{2}T_n(t)=0,
cuja solução geral é
T_n(t)=A_n\cos(c n t)+B_n\sin(c n t),
onde A_n e B_n são constantes que dependerão das condições iniciais. Cada modo forma então a solução separável
u_n(x,t)=\bigl(A_n\cos(c n t)+B_n\sin(c n t)\bigr)\sin(n x).

Passo 5

Pela linearidade e pelo princípio da superposição, a solução geral (série de modos) é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_n\cos(c n t)+B_n\sin(c n t)\Bigr)\sin(n x).
Agora vamos usar as condições iniciais para determinar A_n e B_n. Para isso precisamos da ortogonalidade das funções \sin(n x) em [0,\pi]:
\int_{0}^{\pi}\sin(n x)\sin(m x)\,dx= \begin{cases} 0,& n\neq m,\\[4pt] \dfrac{\pi}{2},& n=m. \end{cases}
Essa identidade é central para calcular coeficientes.]

Passo 6

A condição inicial u(x,0)=f(x)
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin(n x).
Multiplicando ambos os lados por \sin(m x) e integrando em 0 a \pi, usando ortogonalidade, obtemos
\int_{0}^{\pi}f(x)\sin(m x)\,dx = A_m\frac{\pi}{2},
logo
A_m=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin(m x)\,dx.
A condição u_t(x,0)=g(x)
g(x)=\sum_{n=1}^{\infty} (c n) B_n \sin(n x).
Analogamente,
\int_{0}^{\pi}g(x)\sin(m x)\,dx = (c m)B_m\frac{\pi}{2},
portanto
B_m=\frac{2}{c m\pi}\int_{0}^{\pi}g(x)\sin(m x)\,dx.

Passo 7

Substituímos agora as funções iniciais dadas: f(x)=\sin x e g(x)=x. Primeiro A_n:
A_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\sin(n x)\,dx.
Pela ortogonalidade, para n=1
\int_{0}^{\pi}\sin x\sin(1\cdot x)\,dx=\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx=\frac{\pi}{2},
logo A_{1}=\dfrac{2}{\pi}\cdot\dfrac{\pi}{2}=1. Para n\neq1 a integral é zero, então
A_n=\begin{cases}1,& n=1,\\[4pt]0,& n\ge 2.\end{cases}]

Passo 8

Agora calculamos B_n para g(x)=x:
B_n=\frac{2}{c n\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(n x)\,dx.
Calculemos a integral
I_n=\int_{0}^{\pi} x\sin(n x)\,dx.
Use integração por partes: escolha u=x e dv=\sin(n x)\,dx. Então du=dx e v=-\dfrac{\cos(n x)}{n}. Assim
I_n = \left.-\frac{x\cos(n x)}{n}\right|_{0}^{\pi} + \frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(n x)\,dx.
Avalie os termos: o primeiro é -\dfrac{\pi\cos(n\pi)}{n}+0. O segundo é \dfrac{1}{n}\left[\dfrac{\sin(n x)}{n}\right]_{0}^{\pi}=\dfrac{1}{n^2}\bigl(\sin(n\pi)-0\bigr)=0 porque \sin(n\pi)=0. Portanto
I_n = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} = -\frac{\pi(-1)^{n}}{n}.
Substituindo em B_n:
B_n=\frac{2}{c n\pi}\cdot\left(-\frac{\pi(-1)^{n}}{n}\right) = -\frac{2(-1)^{n}}{c n^{2}}.

Passo 9

Juntando tudo na série solução:
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_n\cos(c n t)+B_n\sin(c n t)\Bigr)\sin(n x),
com A_1=1, A_n=0 para n\ge2 e B_n=-\dfrac{2(-1)^{n}}{c n^{2}}. Assim podemos escrever a solução final como
u(x,t)=\cos(c t)\sin x \;+\;\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{2(-1)^{n}}{c n^{2}}\right)\sin(c n t)\sin(n x).
(Observação: o termo com n=1 aparece em ambas as partes: da parte com A_1 veio \cos(c t)\sin x, e na soma aparece também o correspondente B_1 no termo de seno.)

Resposta

u(x,t)=\cos(c t)\sin x \;-\;\frac{2}{c}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\sin(c n t)\sin(n x).

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