(3,5 pontos) Resolva a equação de Laguerre dada por
t y^{\prime \prime}(t)+(1-t) y^{\prime}(t)+2 y(t)=0
com as condições iniciais y(0)=1 e y^{\prime}(0)=-2.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
t\,y''(t)+(1-t)\,y'(t)+2\,y(t)=0
com as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=-2.
O que se pede: encontrar a solução y(t) que satisfaça a equação e as condições iniciais.
Passo 2
Vou usar o método de série de potências centrada em t=0 (método de Frobenius no caso de ponto regular ou singular regular). Ideia: procurar uma solução na forma de série de potências
y(t)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k\,t^k,
onde os coeficientes a_k são números a determinar. Esse método é útil quando queremos a solução regular em t=0 e também nos permite ver quando a série termina (gerando um polinômio).
Primeiro escrevo as derivadas necessárias em série:
Coloco todas as somas num mesmo índice de potência. Para os termos com t^{k-1} faço a mudança m=k-1, isto é k=m+1. Assim obtenho, escrevendo tudo em potências t^m:
Do termo t\,y'':
\sum_{m=1}^{\infty} (m+1)m\,a_{m+1}\,t^{m}.
Do primeiro termo de (1-t)y' (o que tem t^{k-1}):
\sum_{m=0}^{\infty} (m+1)\,a_{m+1}\,t^{m}.
Do segundo termo de (1-t)y' (o que tem t^{k}):
-\sum_{m=1}^{\infty} m\,a_{m}\,t^{m}.
Do termo 2y:
\sum_{m=0}^{\infty} 2\,a_m\,t^{m}.
Somando tudo, a condição de anulação coeficiente a coeficiente dá para m=0 e para m\ge 1.
Pela condição inicial y(0)=1 temos a_0=1. Portanto
a_1=-2.
Passo 4
Para m\ge 1 somamos os coeficientes vindos de cada soma. O termo com a_{m+1} vem de t y'' e do primeiro pedaço de y'; combinando dá (m+1)m a_{m+1} + (m+1)a_{m+1} = (m+1)^2 a_{m+1}. Os termos com a_m vêm de -t y' e de 2y, ou seja (-m+2)a_m=(2-m)a_m. Assim a relação de recorrência é
(m+1)^2\,a_{m+1} + (2-m)\,a_m = 0,
ou seja
a_{m+1} = \frac{m-2}{(m+1)^2}\,a_m,\qquad m\ge 1.
Agora calculo alguns coeficientes explicitamente usando a_0=1 e a_1=-2.
Como a_3=0, pela recorrência todos os coeficientes seguintes serão zero (pois a_4 é múltiplo de a_3, etc.). Logo a série termina em grau 2 e a solução regular em t=0 é um polinômio de grau 2.
Passo 5
Escrevendo a solução obtida pelos coeficientes:
y(t)=a_0 + a_1 t + a_2 t^2 = 1 - 2 t + \tfrac{1}{2} t^2.
Verifico as condições iniciais: y(0)=1 (ok) e y'(t)=-2 + t então y'(0)=-2 (ok). Também é interessante notar que esse polinômio é exatamente o polinômio de Laguerre L_2(t), pois a equação dada é a equação de Laguerre com n=2:
t y''+(1-t)y'+n y=0\quad\text{com }n=2,
cuja solução polinomial é
L_2(t)=1-2t+\tfrac{1}{2}t^2.
Resumo intuitivo: aplicar série de potências, obter recorrência, ver que ela zera a partir de a_3, e assim a solução regular é o polinômio de grau 2 acima.