verifique que o espaço vetorial real ( \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}),+, \cdot ) (onde +\mathrm{e} \cdot são as operações usuais de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) ) é soma direta dos seguintes subespaços vetoriais:
\begin{aligned} & U_{0}=\left\{p_{0} ; p_{0}(x)=a_{0}, \text { para } x \in \mathbb{R}, \text { para algum } a_{0} \in \mathbb{R}\right\}, \\\ & U_{1}=\left\{p_{1} ; p_{1}(x)=a_{1} x, \text { para } x \in \mathbb{R}, \text { para algum } a_{1} \in \mathbb{R}\right\}, \\\ & U_{2}=\left\{p_{2} ; p_{2}(x)=a_{2} x^{2}, \text { para } x \in \mathbb{R}, \text { para algum } a_{2} \in \mathbb{R}\right\} . \end{aligned}

Passo 1

Enunciado e o que é pedido.
Temos o espaço vetorial real \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), formado por todos os polinômios com coeficientes reais de grau no máximo 2, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar. São dados os subespaços
U_{0}=\{p_{0} : p_{0}(x)=a_{0}\text{ para algum }a_{0}\in\mathbb{R}\},
U_{1}=\{p_{1} : p_{1}(x)=a_{1}x\text{ para algum }a_{1}\in\mathbb{R}\},
U_{2}=\{p_{2} : p_{2}(x)=a_{2}x^{2}\text{ para algum }a_{2}\in\mathbb{R}\}.
O pedido: verificar que \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) é soma direta de U_{0},U_{1},U_{2}; isto é, mostrar que
\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) = U_{0}\oplus U_{1}\oplus U_{2}.

Passo 2

Definições essenciais (bem mastigadas).
Soma de subespaços: para subespaços U_{0},U_{1},U_{2} definimos
U_{0}+U_{1}+U_{2}=\{u_{0}+u_{1}+u_{2}\mid u_{i}\in U_{i}\}.
Soma direta: dizemos que a soma é direta e escrevemos U_{0}\oplus U_{1}\oplus U_{2} quando duas coisas acontecem simultaneamente:
  1. U_{0}+U_{1}+U_{2}=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) (a soma gera todo o espaço);
  2. a representação é única, i.e., se u_{0}+u_{1}+u_{2}=0 com u_{i}\in U_{i} então u_{0}=u_{1}=u_{2}=0 (só a decomposição trivial do polinômio zero).
Vou usar essas duas condições para provar o que se pede.

Passo 3

Mostrar que U_{0}+U_{1}+U_{2}=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) (toda combinação).
Um polinômio arbitrário de grau no máximo 2 em \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) tem a forma
p(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},
onde a_{0},a_{1},a_{2}\in\mathbb{R}. Podemos escrever p como soma de três polinômios, um de cada subespaço:
p(x)=\underbrace{a_{0}}_{p_{0}(x)\in U_{0}}+\underbrace{a_{1}x}_{p_{1}(x)\in U_{1}}+\underbrace{a_{2}x^{2}}_{p_{2}(x)\in U_{2}}.
Aqui indiquei explicitamente que p_{0}(x)=a_{0}\in U_{0}, p_{1}(x)=a_{1}x\in U_{1} e p_{2}(x)=a_{2}x^{2}\in U_{2}. Logo qualquer p\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) é soma de elementos de U_{0},U_{1},U_{2}; portanto
U_{0}+U_{1}+U_{2}=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).
Comentário rápido de método: na prova basta apresentar a decomposição acima para um polinômio geral a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} — isso garante a cobertura do espaço.

Passo 4

Mostrar que a decomposição é única (ou seja, a soma é direta).
Pegamos a condição que garante soma direta: suponha que
p_{0}(x)+p_{1}(x)+p_{2}(x)=0
com p_{0}\in U_{0},\;p_{1}\in U_{1},\;p_{2}\in U_{2}. Escrevendo com coeficientes, existem reais \alpha_{0},\alpha_{1},\alpha_{2} tais que
\alpha_{0}+\alpha_{1}x+\alpha_{2}x^{2}=0\qquad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Esse é o polinômio zero (idênticamente zero). Para polinômios em forma padrão, ser identicamente zero significa que todos os coeficientes são zero. Vou mostrar isso de maneira bem concreta sem apelar a resultados avançados: avaliando em pontos específicos.
Avaliando em x=0 obtemos
\alpha_{0}=0.
Avaliando em x=1 obtemos
\alpha_{2}+\alpha_{1}+\alpha_{0}=0.
Como \alpha_{0}=0, isso dá
\alpha_{2}+\alpha_{1}=0. \tag{1}
Avaliando em x=-1 obtemos
\alpha_{2}-\alpha_{1}+\alpha_{0}=0,
e com \alpha_{0}=0 temos
\alpha_{2}-\alpha_{1}=0. \tag{2}
Somando (1) e (2) vem 2\alpha_{2}=0, logo \alpha_{2}=0. Substituindo em (1) obtemos \alpha_{1}=0.
Concluímos \alpha_{0}=\alpha_{1}=\alpha_{2}=0. Portanto, se p_{0}+p_{1}+p_{2}=0 então cada p_{i} é o polinômio zero do respectivo subespaço. Isso mostra que a representação é única e, por consequência, a soma é direta.
Observação didática: essa mesma ideia (avaliar em pontos suficientes ou comparar coeficientes) é o jeito mais prático na prova para mostrar que uma combinação linear de monômios só é zero no caso trivial.

Passo 5

Conclusão final e dica de prova rápida.
Juntando Passos 3 e 4 temos que:
  1. U_{0}+U_{1}+U_{2}=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R});
  2. a decomposição p=p_{0}+p_{1}+p_{2} é única.
Logo
\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})=U_{0}\oplus U_{1}\oplus U_{2}.
Dica prática para a prova: escreva diretamente a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2} (mostra que gera) e depois suponha a_{0}+b_{1}x+c_{2}x^{2}=0 e avalie em x=0,1,-1 para forçar os coeficientes nulos (mostra unicidade). Isso cabe fácil no tempo de prova e é robusto.

Resposta

\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})=U_{0}\oplus U_{1}\oplus U_{2}

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