Quais dos conjuntos abaixo são subanéis de \mathbb{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) ?
(d) L=\left\{\left[\begin{array}{ll}0 & a \\\ c & b\end{array}\right], a, b, c \in \mathbb{R}\right\}.
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
L=\left\{\left[\begin{array}{ll}0 & a \\\ c & b\end{array}\right] : a,b,c\in\mathbb{R}\right\}
é um subanel de \mathbb{M}_{2\times2}(\mathbb{R}).
Informações dadas: cada matriz de L tem entrada superior esquerda igual a 0 e as outras entradas a,b,c são quaisquer números reais.
Passo 2
Definição prática que vamos usar: um subconjunto S de um anel é subanel se for não vazio e for fechado sob subtração e sob multiplicação.
Explicando isso de forma bem clara:
“Não vazio” significa que existe pelo menos uma matriz em S (normalmente verificamos se a matriz nula está em S).
“Fechado sob subtração” quer dizer: se X,Y\in S então X-Y\in S. Fechamento sob subtração implica que S é um subgrupo aditivo (tem identidade 0 e inversos aditivos).
“Fechado sob multiplicação” quer dizer: se X,Y\in S então XY\in S.
Vou checar cada uma dessas propriedades para L. Se qualquer uma falhar, L não é subanel.
Passo 3
Verificar não vazio / presença da matriz nula.
Tomando a=0, b=0, c=0 obtém-se a matriz
0_{2}=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right]\in L.
Portanto L é não vazio e contém a matriz nula.
Passo 4
Verificar fechamento sob adição/subtração (explico como funciona a adição de matrizes).
Seja
X=\left[\begin{array}{ll}0 & a \\\ c & b\end{array}\right]\quad\text{e}\quad Y=\left[\begin{array}{ll}0 & a' \\\ c' & b'\end{array}\right],
com a,b,c,a',b',c'\in\mathbb{R}. A soma é feita entrada a entrada:
A entrada superior esquerda continua 0, e as outras entradas são somas de reais, logo X+Y\in L.
A subtração é análoga:
X-Y=\left[\begin{array}{ll}0 & a-a' \\\ c-c' & b-b'\end{array}\right]\in L.
Assim L é fechado sob adição e subtração (portanto é subgrupo aditivo).
Passo 5
Verificar existência de inverso aditivo (já implícito pelo passo anterior, mas explico explicitamente).
Para X definido acima, o inverso aditivo é
- X=\left[\begin{array}{ll}0 & -a \\\\ -c & -b\end{array}\right],
que pertence a L. Então os inversos aditivos existem em L.
Passo 6
Verificar fechamento sob multiplicação (a parte crítica).
Multiplicando X por Y usando a regra das multiplicações de matrizes (linha por coluna):
XY=\left[\begin{array}{ll}0 & a \\\ c & b\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}0 & a' \\\ c' & b'\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 0\cdot 0 + a\cdot c' & 0\cdot a' + a\cdot b' \\\ c\cdot 0 + b\cdot c' & c\cdot a' + b\cdot b' \end{array}\right].
Simplificando,
XY=\left[\begin{array}{ll} a c' & a b' \\\ b c' & c a' + b b' \end{array}\right].
Repare que a entrada superior esquerda de XY é a c'. Para que XY pertença a L seria necessário que a c'=0 sempre que X,Y\in L. Mas a e c' são números reais arbitrários, então em geral a c' pode ser diferente de zero. Portanto a multiplicação não é fechada em L em geral.
Para tornar isso concreto, forneço um contraexemplo explícito (escolhas fáceis):
Escolha
X=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right]\in L \quad\text{(a=1,c=0,b=0)}
e
Y=\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]\in L \quad\text{(a'=0,c'=1,b'=0)}.
A entrada superior esquerda aqui é 1\neq 0, portanto XY\notin L. Isso mostra que L não é fechado sob multiplicação.
Passo 7
Conclusão a partir das verificações: L falha em ser fechado sob multiplicação, logo L não satisfaz a condição necessária para ser um subanel de \mathbb{M}_{2\times2}(\mathbb{R}).
Resposta
Não, L não é subanel de \mathbb{M}_{2\times2}(\mathbb{R}).