Sejam P um polinômio de grau m e Q um polinômio de grau n. Prove que
P Q é um polinômio de grau $m+n;

Passo 1

O enunciado diz que P e Q são polinômios, com
deg(P)=m e deg(Q)=n.
Queremos mostrar que o produto Pcdot Q é um polinômio de grau m+n.

Passo 2

Escrevemos explicitamente as formas gerais de P e Q. São
P(x)=am x^m + am-1x^m-1 + cdots + a1 x + a0,
Q(x)=bn x^n + bn-1x^n-1 + cdots + b1 x + b0,
onde amneq0 e bnneq0.

Passo 3

Ao multiplicar, cada termo de P multiplica cada termo de Q. Em particular surge o termo de maior potência quando se multiplicam os termos de maior grau:
(am x^m),(bn x^n)=am bn,x^m+n
Todos os outros produtos envolvem potências de grau <= m+n-1.

Passo 4

Como amneq0 e bnneq0, na hipótese de que o anel de coeficientes não possui divisores de zero (por exemplo um corpo como R ou C), conclui-se que
am bn neq 0
Logo o coeficiente de x^m+n em P(x)Q(x) é não nulo.

Passo 5

Pelo que vimos, o termo de maior grau em P(x)Q(x) é exatamente am bn,x^m+n com coeficiente não nulo. Portanto
degl(PQr)=m+n

Resposta

deg(PQ)=m+n.

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