Sejam
um polinômio de grau
e
um polinômio de grau
. Prove que
é um polinômio de grau $m+n;
Passo 1
O enunciado diz que
e
são polinômios, com
e
.
Queremos mostrar que o produto é um polinômio de grau
.
Queremos mostrar que o produto
Passo 2
Escrevemos explicitamente as formas gerais de
e
. São
onde
e
.
Passo 3
Ao multiplicar, cada termo de
multiplica cada termo de
. Em particular surge o termo de maior potência quando se multiplicam os termos de maior grau:
Todos os outros produtos envolvem potências de grau
.
Passo 4
Como
e
, na hipótese de que o anel de coeficientes não possui divisores de zero (por exemplo um corpo como
ou
), conclui-se que
Logo o coeficiente de
em
é não nulo.
Passo 5
Pelo que vimos, o termo de maior grau em
é exatamente
com coeficiente não nulo. Portanto