Sejam A, P: E \rightarrow E operadores lineares não nulos tais que A P=0. Prove que existem vetores nāo-nulos u \neq v tal que A(u)=A(v).

Passo 1

O enunciado dá duas informações claras:
  • Existem operadores lineares não nulos A,P: E\to E.
  • A composição satisfaz A P = 0 (isto é, A(P(x))=0 para todo x\in E).
O que o problema pede:
  • Mostrar que existem vetores não-nulos u e v com u\neq v tais que A(u)=A(v).

Passo 2

Ideia principal (explicação intuitiva): se A fosse injetora, então A(y)=0 implicaria y=0. Mas como A P=0 e P é não nulo, a imagem de P contém algum vetor não-nulo y com A(y)=0. Isso contradiz a injetividade de A. Portanto A não pode ser injetora, e assim o núcleo de A tem vetores não-nulos. Com um vetor não-nulo no núcleo, eu posso pegar dois múltiplos distintos desse vetor para obter dois vetores não-nulos diferentes com a mesma imagem por A (ambos têm imagem zero). Agora vamos mostrar isso passo a passo e com definições.

Passo 3

Definição e consequência: o núcleo de A é o conjunto \ker A=\{x\in E\mid A(x)=0\}.
  • Se A fosse injetora, então \ker A=\{0\}.
  • Vamos provar que A não é injetora. Suponha, por absurdo, que A é injetora, ou seja, \ker A=\{0\}. Como P é um operador linear não nulo, existe w\in E com P(w)\neq 0. Mas então, usando A P=0, temos A(P(w))=(A P)(w)=0.Pela injetividade hipóteses de A, disso seguiria P(w)=0, contradição com P(w)\neq0. Logo a suposição é falsa e A não é injetora.

Passo 4

Conclusão do passo anterior: \ker A contém algum vetor não-nulo. Então existe x\in E tal que x\neq 0 e
A(x)=0.
Isso é exatamente dizer que o núcleo de A é não trivial.

Passo 5

Construção explícita de u e v: como x\neq 0 e A é linear, para quaisquer escalares \alpha,\beta temos
A(\alpha x)=\alpha A(x)=\alpha\cdot 0=0, \qquad A(\beta x)=\beta A(x)=0.
Escolho agora dois escalares distintos e não nulos, por exemplo \alpha=1 e \beta=2. Defino
u = 1\cdot x = x,\qquad v = 2\cdot x.
Então u\neq v (porque x\neq 0 e 1\neq 2), ambos são não-nulos, e
A(u)=A(x)=0,\qquad A(v)=A(2x)=2A(x)=0.
Portanto A(u)=A(v).

Passo 6

Verificação final e comentário pedagógico: mostramos que não é possível que A seja injetora sem contradizer P\neq 0 e A P=0. Assim \ker A contém vetores não-nulos; tomando dois múltiplos distintos desse vetor obtemos dois vetores não-nulos diferentes com a mesma imagem por A. Esse é um procedimento frequentemente útil em provas: ao mostrar que um operador não é injetor, podemos sempre produzir vetores distintos com mesma imagem usando múltiplos de um vetor do núcleo.

Resposta

Seja x\in\ker A com x\neq 0. Então, por exemplo, u=x e v=2x são não-nulos, u\neq v e satisfazem A(u)=A(v)=0.

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