Sejam
operadores lineares não nulos tais que
. Prove que existem vetores nāo-nulos
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá duas informações claras:
- Existem operadores lineares não nulos
. - A composição satisfaz
(isto é, para todo ).
O que o problema pede:
- Mostrar que existem vetores não-nulos
e com tais que .
Passo 2
Ideia principal (explicação intuitiva): se
fosse injetora, então
implicaria
. Mas como
e
é não nulo, a imagem de
contém algum vetor não-nulo
com
. Isso contradiz a injetividade de
. Portanto
não pode ser injetora, e assim o núcleo de
tem vetores não-nulos. Com um vetor não-nulo no núcleo, eu posso pegar dois múltiplos distintos desse vetor para obter dois vetores não-nulos diferentes com a mesma imagem por
(ambos têm imagem zero). Agora vamos mostrar isso passo a passo e com definições.
Passo 3
Definição e consequência: o núcleo de
é o conjunto
.
- Se
fosse injetora, então . - Vamos provar que
não é injetora. Suponha, por absurdo, que é injetora, ou seja, . Como é um operador linear não nulo, existe com . Mas então, usando , temos Pela injetividade hipóteses de , disso seguiria , contradição com . Logo a suposição é falsa e não é injetora.
Passo 4
Conclusão do passo anterior:
contém algum vetor não-nulo. Então existe
tal que
e
Isso é exatamente dizer que o núcleo de
é não trivial.
Passo 5
Construção explícita de
e
: como
e
é linear, para quaisquer escalares
temos
Escolho agora dois escalares distintos e não nulos, por exemplo
e
. Defino
Então
(porque
e
), ambos são não-nulos, e
Portanto
.
Passo 6
Verificação final e comentário pedagógico: mostramos que não é possível que
seja injetora sem contradizer
e
. Assim
contém vetores não-nulos; tomando dois múltiplos distintos desse vetor obtemos dois vetores não-nulos diferentes com a mesma imagem por
. Esse é um procedimento frequentemente útil em provas: ao mostrar que um operador não é injetor, podemos sempre produzir vetores distintos com mesma imagem usando múltiplos de um vetor do núcleo.
Resposta
Seja
com
. Então, por exemplo,
e
são não-nulos,
e satisfazem
.