Sejam um ponto P=(1.2.3) e um ponto a:3x+y-z+10=0. A distancia ao plano medida em centimetro é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um ponto $ P = (1, 2, 3) $ e um plano dado pela equação $ 3x + y - z + 10 = 0 $. Nosso objetivo aqui é encontrar a distância desse ponto até o plano, medida em centímetros. Para isso, vamos usar a fórmula que calcula a distância de um ponto a um plano no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância $ d $ de um ponto $ P(x_0, y_0, z_0) $ a um plano definido por $ Ax + By + Cz + D = 0 $:
d
Essa fórmula basicamente nos dá a menor distância entre o ponto e o plano, que é perpendicular ao plano.

Passo 3

Agora, vamos identificar os coeficientes da equação do plano e as coordenadas do ponto que temos:
  • Equação do plano: $ 3x + y - z + 10 = 0 $, então:
    • $ A = 3 $
    • $ B = 1 $
    • $ C = -1 $
    • $ D = 10 $
  • Coordenadas do ponto $ P $: $ (1, 2, 3) $, então:
    • $ x_0 = 1 $
    • $ y_0 = 2 $
    • $ z_0 = 3 $

Passo 4

Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
d = |3 cdot 1 + 1 cdot 2 + (-1) cdot 3 + 10|raiz3^2 + 1^2 + (-1)^2

Passo 5

Agora, vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
3 cdot 1 = 3
1 cdot 2 = 2
(-1) cdot 3 = -3
Então:
3 + 2 - 3 + 10 = 12
Denominador:
3^2 = 9
1^2 = 1
(-1)^2 = 1
Então:
raiz9 + 1 + 1 = raiz11

Passo 6

Agora, substituímos os valores calculados na fórmula:
d = |12|raiz11 = 12raiz11
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
d = 12 raiz1111 approx 12 times 3,316611 approx 39,811 approx 3,618 cm

Resposta

A distância do ponto $ P = (1, 2, 3) $ ao plano $ 3x + y - z + 10 = 0 $ é aproximadamente $ 3,62 $ centímetros.

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