Sejam um ponto P=(1.2.3) e um ponto a:3x+y-z+10=0. A distancia ao plano medida em centimetro é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um ponto $ P = (1, 2, 3) $ e um plano dado pela equação $ 3x + y - z + 10 = 0 $. Nosso objetivo aqui é encontrar a distância desse ponto até o plano, medida em centímetros. Para isso, vamos usar a fórmula que calcula a distância de um ponto a um plano no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância $ d $ de um ponto $ P(x_0, y_0, z_0) $ a um plano definido por $ Ax + By + Cz + D = 0 $:
Essa fórmula basicamente nos dá a menor distância entre o ponto e o plano, que é perpendicular ao plano.
Passo 3
Agora, vamos identificar os coeficientes da equação do plano e as coordenadas do ponto que temos:
-
Equação do plano: $ 3x + y - z + 10 = 0 $, então:
- $ A = 3 $
- $ B = 1 $
- $ C = -1 $
- $ D = 10 $
-
Coordenadas do ponto $ P $: $ (1, 2, 3) $, então:
- $ x_0 = 1 $
- $ y_0 = 2 $
- $ z_0 = 3 $
Passo 4
Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
Passo 5
Agora, vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
Então:
Denominador:
Então:
Passo 6
Agora, substituímos os valores calculados na fórmula:
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
Resposta
A distância do ponto $ P = (1, 2, 3) $ ao plano $ 3x + y - z + 10 = 0 $ é aproximadamente $ 3,62 $ centímetros.