Sejam os pontos A=(-2,-5) e B=(1,-9). Determinar o vetor \vec{v} tal que
B=A+2 \vec{v}

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(-2,-5) e B=(1,-9) e pede: encontrar o vetor \vec{v} que satisfaz
B = A + 2\vec{v}.
Informações relevantes que temos:
  • Coordenadas do ponto A: A_x=-2, A_y=-5.
  • Coordenadas do ponto B: B_x=1, B_y=-9.
  • A incógnita é o vetor \vec{v}, que podemos representar por suas componentes \vec{v}=(v_x,v_y).
    O que se pede é determinar v_x e v_y que tornam verdadeira a igualdade vetorial acima.

Passo 2

Entendendo vetores e operações em componentes (mini-aula rápida e prática).
  • Um vetor no plano é representado por suas componentes (x,y), que indicam quanto o vetor se desloca nas direções x e y.
  • A soma de vetores é feita componente a componente:
(u_x,u_y)+(w_x,w_y)=(u_x+w_x,\;u_y+w_y).
  • A multiplicação de um vetor por um escalar k escala cada componente:
k\cdot(u_x,u_y)=(k u_x,\;k u_y).
Essas regras permitem transformar a equação vetorial em um sistema de equações nas componentes.

Passo 3

Aplicando as regras à equação dada. Escrevendo A, B e \vec{v} por componentes:
A=(A_x,A_y)=(-2,-5),\qquad B=(B_x,B_y)=(1,-9),\qquad \vec{v}=(v_x,v_y).
Substituindo em B=A+2\vec{v} e usando as operações componente a componente:
(B_x,B_y) = (A_x,A_y) + 2(v_x,v_y) = (A_x+2v_x,\;A_y+2v_y).
Portanto as componentes devem satisfazer o sistema
\begin{cases} B_x = A_x + 2v_x,\\[4pt] B_y = A_y + 2v_y. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema isolando 2\vec{v}. Subtraindo A de ambos os lados da equação vetorial:
2\vec{v} = B - A.
Isto significa que cada componente de 2\vec{v} é a diferença das componentes de B e A:
2v_x = B_x - A_x,\qquad 2v_y = B_y - A_y.

Passo 5

Calcular B-A usando as coordenadas fornecidas (peguei os valores do enunciado):
B_x - A_x = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3,
B_y - A_y = -9 - (-5) = -9 + 5 = -4.
Logo
B - A = (3,-4),
e portanto
2\vec{v} = (3,-4).

Passo 6

Dividir por 2 para obter \vec{v}. Dividir um vetor por um escalar significa dividir cada componente:
\vec{v} = \frac{1}{2}(3,-4)=\left(\frac{3}{2},-2\right).

Passo 7

Verificação rápida (colocar na prova dá segurança): calcular A+2\vec{v} e checar se volta B.
2\vec{v} = 2\left(\frac{3}{2},-2\right)=(3,-4),
A+2\vec{v}=(-2,-5)+(3,-4)=(-2+3,\;-5-4)=(1,-9)=B.
Confere certinho.

Resposta

\vec{v}=\left(\dfrac{3}{2},-2\right)

Exercícios relacionados