Sejam os pontos A=(-2,-5) e B=(1,-9). Determinar o vetor \vec{v} tal que
A=2 \vec{v}-B

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(-2,-5) e B=(1,-9) e pede para determinar o vetor \vec{v} que satisfaz a equação
A = 2\vec{v} - B.
Informações relevantes fornecidas:
  • Coordenadas do ponto A: (-2,-5).
  • Coordenadas do ponto B: (1,-9).
  • A incógnita é o vetor \vec{v} em \mathbb{R}^2 que deve satisfazer a equação vetorial acima.

Passo 2

Relembrando regras básicas de operação com vetores (coisa importante para a prova, explicadinha):
  • A soma de vetores é feita componente a componente. Se \vec{u}=(u_1,u_2) e \vec{w}=(w_1,w_2), então
\vec{u}+\vec{w}=(u_1+w_1,\;u_2+w_2).
  • A multiplicação de um vetor por um escalar também é componente a componente. Se k é escalar e \vec{u}=(u_1,u_2), então
k\vec{u}=(k u_1,\;k u_2).
Essas regras permitem manipular a equação vetorial exatamente como uma equação de números, só que aplicando-se componente a componente.

Passo 3

Isolar \vec{v} na equação A = 2\vec{v} - B. Primeiro somar B em ambos os lados:
A + B = 2\vec{v}.
Isto usa a propriedade de que se X - B = Y então X = Y + B; aqui aplicamos isso a vetores.

Passo 4

Agora dividir por 2 (ou multiplicar por 1/2) em ambos os lados para obter \vec{v}:
\vec{v} = \tfrac{1}{2}(A + B).
Interpretando em componentes: se A=(a_1,a_2) e B=(b_1,b_2), então
\vec{v}=\left(\tfrac{1}{2}(a_1+b_1),\;\tfrac{1}{2}(a_2+b_2)\right).
Isso vem diretamente das regras de soma e multiplicação escalar explicadas antes.

Passo 5

Aplicar a fórmula acima usando as coordenadas dadas. Primeiro calcular A+B:
A+B = (-2,-5) + (1,-9) = (-2+1,\;-5+(-9)) = (-1,\;-14).

Passo 6

Multiplicar por \tfrac{1}{2} componente a componente:
\vec{v} = \tfrac{1}{2}(-1,-14) = \left(\tfrac{1}{2}\cdot(-1),\;\tfrac{1}{2}\cdot(-14)\right)=\left(-\tfrac{1}{2},\;-7\right).

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): calcular 2\vec{v}-B com o \vec{v} encontrado.
2\vec{v}=2\left(-\tfrac{1}{2},-7\right)=(-1,-14),
2\vec{v}-B = (-1,-14)-(1,-9)=(-1-1,\;-14-(-9))=(-2,\;-5)=A.
A conta fecha, portanto o \vec{v} encontrado está correto.

Resposta

\vec{v}=\left(-\tfrac{1}{2},-7\right)

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