Sejam os pontos A=(6,-8) e B=(-4,-3). Determinar o vetor \vec{v} tal que
2 A=B-3 \vec{v}

Passo 1

O enunciado dá os pontos (vetores posição) e pede um vetor \vec{v}. Informações fornecidas:
  • \vec{A}=(6,-8).
  • \vec{B}=(-4,-3).
  • A relação vetorial é 2\vec{A}=\vec{B}-3\vec{v}.
O que se pede: determinar o vetor \vec{v} que satisfaz essa igualdade.

Passo 2

Isolar \vec{v} algebricamente. Começa-se a manipular a equação dada:
2\vec{A}=\vec{B}-3\vec{v}.
Subtrai \vec{B} de ambos os lados:
2\vec{A}-\vec{B}=-3\vec{v}.
Agora divide por -3 (ou multiplica por -\tfrac{1}{3}) para obter \vec{v}:
\vec{v}=-\tfrac{1}{3}\bigl(2\vec{A}-\vec{B}\bigr)=\tfrac{1}{3}\bigl(\vec{B}-2\vec{A}\bigr).
Breve explicação: dividir um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente do vetor por esse escalar.

Passo 3

Calcular 2\vec{A} componente a componente. Multiplicação escalar em vetores faz-se em cada componente:
2\vec{A}=2\cdot(6,-8)=(2\cdot6,\;2\cdot(-8))=(12,-16).

Passo 4

Calcular \vec{B}-2\vec{A} componente a componente. Subtração de vetores é componente a componente:
\vec{B}-2\vec{A}=(-4,-3)-(12,-16)=(-4-12,\;-3-(-16))=(-16,13).

Passo 5

Multiplicar por \tfrac{1}{3} para obter \vec{v}. Isso divide cada componente por 3:
\vec{v}=\tfrac{1}{3}(-16,13)=\Bigl(-\tfrac{16}{3},\;\tfrac{13}{3}\Bigr).
Explicação prática: \tfrac{1}{3} aplicado ao vetor significa \bigl(\tfrac{-16}{3},\tfrac{13}{3}\bigr).

Passo 6

Checagem rápida (verificação): calcule B-3\vec{v}.
3\vec{v}=3\cdot\Bigl(-\tfrac{16}{3},\tfrac{13}{3}\Bigr)=(-16,13),
\vec{B}-3\vec{v}=(-4,-3)-(-16,13)=(-4+16,\;-3-13)=(12,-16)=2\vec{A},
portanto a solução está correta.

Resposta

\vec{v}=\left(-\dfrac{16}{3},\dfrac{13}{3}\right)

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