Sejam os pontos A=(6,-8) e B=(-4,-3). Determinar o vetor \vec{v} tal que
A=B+3 \vec{v}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados:
  • A=(6,-8).
  • B=(-4,-3).
  • A relação entre os vetores é A=B+3\vec{v}.
O que se pede: encontrar o vetor \vec{v} que satisfaz a equação acima.

Passo 2

Relembrando operações com vetores no plano (explicação didática e simples).
  • Se u=(u_1,u_2) e w=(w_1,w_2), a soma é
u+w=(u_1+w_1,\;u_2+w_2).
Aqui u_1,u_2,w_1,w_2 são as componentes das respectivas coordenadas.
  • Se k é um escalar e u=(u_1,u_2), a multiplicação escalar é
k\,u=(k u_1,\;k u_2).
Isto significa multiplicar cada componente por k.
Essas definições são tudo o que precisa para manipular a equação A=B+3\vec{v}.

Passo 3

Isolar \vec{v} na equação. Começa subtraindo B dos dois lados:
A-B=3\vec{v}.
Como 3 é um escalar, para encontrar \vec{v} dividimos por 3:
\vec{v}=\frac{1}{3}(A-B).
Aqui A-B é a subtração componente a componente das coordenadas de A e B.

Passo 4

Calcular A-B componente a componente. Usando A=(6,-8) e B=(-4,-3):
A-B=(6-(-4),\;-8-(-3)).
Agora faço as contas (passo a passo):
6-(-4)=6+4=10,
-8-(-3)=-8+3=-5.
Portanto
A-B=(10,-5).

Passo 5

Aplicar o fator \dfrac{1}{3} a A-B para obter \vec{v}:
\vec{v}=\frac{1}{3}(10,-5)=\left(\frac{10}{3},\;-\frac{5}{3}\right).
Explicando: multiplicar por \tfrac{1}{3} significa dividir cada componente por 3.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): calcular B+3\vec{v} e confirmar que volta a dar A.
3\vec{v}=3\left(\frac{10}{3},-\frac{5}{3}\right)=(10,-5),
B+3\vec{v}=(-4,-3)+(10,-5)=(-4+10,\,-3-5)=(6,-8)=A.
Confere certinho.

Resposta

\displaystyle \vec{v}=\left(\frac{10}{3},-\frac{5}{3}\right)

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