Sendo A=(1,-2,2) e B=(2,3,1), até que ponto se deve prolongar o segmento A B, no sentido de A para B, para que seu comprimento triplique de valor?

Passo 1

O enunciado dá os pontos \,A=(1,-2,2)\, e \,B=(2,3,1)\, e pergunta até que ponto devemos prolongar o segmento \,AB\,, no sentido de A para B, para que o comprimento do segmento triplique.
Informações relevantes dadas:
\;A=(1,-2,2)\;
\;B=(2,3,1)\;
O que se pede: encontrar o ponto C sobre a semi-reta que parte de A e passa por B tal que o comprimento de \,AC\, seja três vezes o comprimento de \,AB.

Passo 2

Calcular o vetor \overrightarrow{AB} (diferença das coordenadas de B e A). A definição: se A=(x_A,y_A,z_A) e B=(x_B,y_B,z_B), então
\overrightarrow{AB} = (x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A).
Aplicando aos números dados:
\overrightarrow{AB} = (2-1,\;3-(-2),\;1-2) = (1,\;5,\;-1).

Passo 3

Calcular o comprimento (norma) de \overrightarrow{AB}. A fórmula da norma de um vetor (v_1,v_2,v_3) em R^3 é
\|\,(v_1,v_2,v_3)\,\| = \sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}+v_3^{2}}.
Então
\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{1^{2}+5^{2}+(-1)^{2}} = \sqrt{1+25+1} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}.
Isso significa que o comprimento do segmento \,AB\, é \,3\sqrt{3}\,.

Passo 4

Descrever o ponto geral C sobre a semirreta de A em direção a B. Qualquer ponto C nessa semirreta pode ser escrito como
\overrightarrow{AC} = t\,\overrightarrow{AB},
com parâmetro real t\ge 0. O caso t=1 C=B. O comprimento de \,AC\, é \| \overrightarrow{AC}\| = |t|\,\|\overrightarrow{AB}\|. Como estamos no sentido de A para B, temos t>0.
Queremos \| \overrightarrow{AC}\| = 3\,\|\overrightarrow{AB}\|. Substituindo,
|t|\,\|\overrightarrow{AB}\| = 3\,\|\overrightarrow{AB}\|.
Como \|\overrightarrow{AB}\|>0, podemos dividir e obter |t|=3. Tomando t>0 (sentido de A para B), temos
t=3.

Passo 5

Encontrar as coordenadas de C usando t=3. A relação vetorial entre pontos é
\overrightarrow{AC} = C - A = t\,\overrightarrow{AB}.
Portanto
C = A + t\,\overrightarrow{AB}.
Substituindo A=(1,-2,2), \overrightarrow{AB}=(1,5,-1) e t=3,
C = (1,-2,2) + 3\cdot(1,5,-1) = (1+3,\;-2+15,\;2-3) = (4,\;13,\;-1).

Passo 6

Interpretar o resultado e calcular quanto se prolonga além de B. O ponto C=(4,13,-1) está na mesma direção de B a partir de A e satisfaz \,|AC|=3|AB|\,. Se quisermos saber quanto foi prolongado além de B, calculamos BC. Como t=3, o comprimento |BC| é
|BC| = |AC| - |AB| = 3|AB| - |AB| = 2|AB|.
Usando |AB|=3\sqrt{3},
|BC| = 2\cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}.

Resposta

C=(4,13,-1)
BC=6\sqrt{3}

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