Sendo A=(1,-2,2) e B=(2,3,1), até que ponto se deve prolongar o segmento A B, no sentido de A para B, para que seu comprimento triplique de valor?
Passo 1
O enunciado dá os pontos \,A=(1,-2,2)\, e \,B=(2,3,1)\, e pergunta até que ponto devemos prolongar o segmento \,AB\,, no sentido de A para B, para que o comprimento do segmento triplique.
Informações relevantes dadas: \;A=(1,-2,2)\; \;B=(2,3,1)\;
O que se pede: encontrar o ponto C sobre a semi-reta que parte de A e passa por B tal que o comprimento de \,AC\, seja três vezes o comprimento de \,AB.
Passo 2
Calcular o vetor \overrightarrow{AB} (diferença das coordenadas de B e A). A definição: se A=(x_A,y_A,z_A) e B=(x_B,y_B,z_B), então
Isso significa que o comprimento do segmento \,AB\, é \,3\sqrt{3}\,.
Passo 4
Descrever o ponto geral C sobre a semirreta de A em direção a B. Qualquer ponto C nessa semirreta pode ser escrito como
\overrightarrow{AC} = t\,\overrightarrow{AB},
com parâmetro real t\ge 0. O caso t=1 dá C=B. O comprimento de \,AC\, é \| \overrightarrow{AC}\| = |t|\,\|\overrightarrow{AB}\|. Como estamos no sentido de A para B, temos t>0.
Como \|\overrightarrow{AB}\|>0, podemos dividir e obter |t|=3. Tomando t>0 (sentido de A para B), temos
t=3.
Passo 5
Encontrar as coordenadas de C usando t=3. A relação vetorial entre pontos é
\overrightarrow{AC} = C - A = t\,\overrightarrow{AB}.
Portanto
C = A + t\,\overrightarrow{AB}.
Substituindo A=(1,-2,2), \overrightarrow{AB}=(1,5,-1) e t=3,
C = (1,-2,2) + 3\cdot(1,5,-1) = (1+3,\;-2+15,\;2-3) = (4,\;13,\;-1).
Passo 6
Interpretar o resultado e calcular quanto se prolonga além de B. O ponto C=(4,13,-1) está na mesma direção de B a partir de A e satisfaz \,|AC|=3|AB|\,. Se quisermos saber quanto foi prolongado além de B, calculamos BC. Como t=3, o comprimento |BC| é