Sejam D e E pontos sobre os lados A B e A C do triângulo A B C. Sendo B C= 22 \mathrm{~cm}, A D=8 \mathrm{~cm}, D B=3 \mathrm{~cm}, A E=5 \mathrm{~cm} e \angle A B E=\angle A C D, calcule o comprimento de D E.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Dados:
D e E pertencem aos lados AB e AC, respectivamente.
BC=22 cm.
AD=8 cm e DB=3 cm (logo AB=AD+DB=11 cm).
AE=5 cm.
\angle ABE=\angle ACD.
Pedido: calcular o comprimento de DE.
Passo 2
Colocando o triângulo num sistema de coordenadas (truque clássico para controlar comprimentos e ângulos):
Ponho A=(0,0) e faço AB sobre o eixo x, entãoB=(11,0),\qquad D=(8,0).
Seja r=|AC| (comprimento de AC). Descrevo a direção de AC por um vetor unitário (s,t), isto é s^2+t^2=1 eC=(r s,\; r t).
Como AE=5 e E está em AC, temosE=(5s,\;5t).
Dessa forma todas as posições estão em termos de r e s (com t=\sqrt{1-s^2}).
Passo 3
Usando a condição BC=22 para relacionar r e s:
Distância BC:BC^2=(r s-11)^2+(r t-0)^2=r^2-22 r s+121.
Como BC^2=22^2=484, obtemosr^2-22 r s+121=484.
Portantor^2-22 r s-363=0.
Esta é uma relação útil entre r e s.
Passo 4
Expressão de DE^2 em função de s (objetivo: reduzir o problema a achar s):
Coordenadas: D=(8,0) e E=(5s,5t). AssimDE^2=(8-5s)^2+(0-5t)^2.
Desenvolvendo e usando s^2+t^2=1,\begin{aligned} DE^2 &=64-80s+25s^2+25t^2\\\ &=64-80s+25(s^2+t^2)\\\ &=64-80s+25\\\ &=89-80s. \end{aligned}
Logo o comprimento DE depende apenas de s; basta encontrar s e então DE=\sqrt{89-80s}.
Passo 5
Traduzir a igualdade de ângulos \angle ABE=\angle ACD em uma equação algébrica (uso do cosseno dos ângulos via produto escalar):
\|\overrightarrow{CD}\|^2=(8-r s)^2+( -r t)^2=r^2-16 r s +64.
Igualdade de cossenos (ângulos com medidas entre 0 e \pi, podemos igualar os cossenos):\frac{-55s+121}{11\sqrt{146-110s}}=\frac{r-8s}{\sqrt{r^2-16 r s+64}}.
Passo 6
Transformar a última igualdade em uma equação resolvível usando a relação do Passo 3:
Elevando ao quadrado e simplificando obtemos uma igualdade que envolve r e s. Substituindo s a partir de r^2-22 r s-363=0, i.e.
s=\frac{r^2-363}{22r},
e fazendo as simplificações algébricas, chega-se (após algebra elementar e fatoração) à equação polinomial que se factoriza como
(r-33)\,(5r-88)=0.
(Obs.: a conta algébrica é direta, embora longa; os fatores aparecem pela escolha numérica dos dados do problema.)
As soluções para r são r=33 e r=\dfrac{88}{5}=17{,}6.
Passo 7
Escolher a solução adequada e obter s:
r=33 corresponderia a C colinear com A e B (caso degenerado do triângulo). Descartamos esse caso porque o enunciado descreve um triângulo com lados distintos.