Sejam D e E pontos sobre os lados A B e A C do triângulo A B C. Sendo B C= 22 \mathrm{~cm}, A D=8 \mathrm{~cm}, D B=3 \mathrm{~cm}, A E=5 \mathrm{~cm} e \angle A B E=\angle A C D, calcule o comprimento de D E.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados:
    • D e E pertencem aos lados AB e AC, respectivamente.
    • BC=22 cm.
    • AD=8 cm e DB=3 cm (logo AB=AD+DB=11 cm).
    • AE=5 cm.
    • \angle ABE=\angle ACD.
  • Pedido: calcular o comprimento de DE.

Passo 2

Colocando o triângulo num sistema de coordenadas (truque clássico para controlar comprimentos e ângulos):
  • Ponho A=(0,0) e faço AB sobre o eixo x, então B=(11,0),\qquad D=(8,0).
  • Seja r=|AC| (comprimento de AC). Descrevo a direção de AC por um vetor unitário (s,t), isto é s^2+t^2=1 e C=(r s,\; r t).
  • Como AE=5 e E está em AC, temos E=(5s,\;5t).
Dessa forma todas as posições estão em termos de r e s (com t=\sqrt{1-s^2}).

Passo 3

Usando a condição BC=22 para relacionar r e s:
  • Distância BC: BC^2=(r s-11)^2+(r t-0)^2=r^2-22 r s+121.
  • Como BC^2=22^2=484, obtemos r^2-22 r s+121=484.
  • Portanto r^2-22 r s-363=0.
Esta é uma relação útil entre r e s.

Passo 4

Expressão de DE^2 em função de s (objetivo: reduzir o problema a achar s):
  • Coordenadas: D=(8,0) e E=(5s,5t). Assim DE^2=(8-5s)^2+(0-5t)^2.
  • Desenvolvendo e usando s^2+t^2=1, \begin{aligned} DE^2 &=64-80s+25s^2+25t^2\\\ &=64-80s+25(s^2+t^2)\\\ &=64-80s+25\\\ &=89-80s. \end{aligned}
Logo o comprimento DE depende apenas de s; basta encontrar s e então DE=\sqrt{89-80s}.

Passo 5

Traduzir a igualdade de ângulos \angle ABE=\angle ACD em uma equação algébrica (uso do cosseno dos ângulos via produto escalar):
  • Vetores relevantes: \overrightarrow{BA}=(-11,0),\qquad \overrightarrow{BE}=(5s-11,\,5t),
\overrightarrow{CA}=(-r s,\,-r t),\qquad \overrightarrow{CD}=(8-r s,\,-r t).
  • Produto escalar e normas: \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BE}=-11(5s-11)=-55s+121,
\|\overrightarrow{BE}\|^2=(5s-11)^2+(5t)^2=25(s^2+t^2)-110s+121=146-110s,
\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CD}=r^2-8r s,
\|\overrightarrow{CD}\|^2=(8-r s)^2+( -r t)^2=r^2-16 r s +64.
  • Igualdade de cossenos (ângulos com medidas entre 0 e \pi, podemos igualar os cossenos): \frac{-55s+121}{11\sqrt{146-110s}}=\frac{r-8s}{\sqrt{r^2-16 r s+64}}.

Passo 6

Transformar a última igualdade em uma equação resolvível usando a relação do Passo 3:
  • Elevando ao quadrado e simplificando obtemos uma igualdade que envolve r e s. Substituindo s a partir de r^2-22 r s-363=0, i.e.
    s=\frac{r^2-363}{22r},
    e fazendo as simplificações algébricas, chega-se (após algebra elementar e fatoração) à equação polinomial que se factoriza como
    (r-33)\,(5r-88)=0.
    (Obs.: a conta algébrica é direta, embora longa; os fatores aparecem pela escolha numérica dos dados do problema.)
  • As soluções para r são r=33 e r=\dfrac{88}{5}=17{,}6.

Passo 7

Escolher a solução adequada e obter s:
  • r=33 corresponderia a C colinear com A e B (caso degenerado do triângulo). Descartamos esse caso porque o enunciado descreve um triângulo com lados distintos.
  • Então tomamos r=\frac{88}{5}.
  • Usando s=\dfrac{r^2-363}{22r}, s=\frac{\left(\dfrac{88}{5}\right)^2-363}{22\cdot \dfrac{88}{5}} =\frac{\dfrac{7744}{25}-\dfrac{9075}{25}}{\dfrac{1936}{5}} =\frac{-1331/25}{1936/5} =\frac{-1331}{25}\cdot\frac{5}{1936} =-\frac{1331}{9680} =-\frac{11}{80}.

Passo 8

Calcular DE usando s=-\dfrac{11}{80}:
  • Da fórmula do Passo 4, DE^2=89-80s=89-80\Bigl(-\frac{11}{80}\Bigr)=89+11=100.
  • Portanto DE=\sqrt{100}=10.

Resposta

10 cm

Exercícios relacionados