Q1: Considere A uma matriz cujas colunas são formadas pelos vetores \vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3} \in \mathbb{R}^{3}. Seja B uma matriz cujas colunas \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3} satisfazem: \vec{b}_{1}=6 \vec{a}_{1}+2 \vec{a}_{2}+6 \vec{a}_{3},
\vec{b}_{2}=4 \vec{a}_{1}+6 \vec{a}_{2}+3 \vec{a}_{3} e \vec{b}_{3}=4 \vec{a}_{1}+7 \vec{a}_{2}+3 \vec{a}_{3}.
Sabendo que \operatorname{det}(A)=2, assinale o valor do \operatorname{det}(B) :
(A) 6
(B) 8
(C) 10
(D) 12
(E) 14
(F) 16
(G) 18
(H) 20

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
\text{A é uma matriz cujas colunas são } \vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\vec{a}_{3}\in\mathbb{R}^{3},éã
\vec{b}_{1}=6\vec{a}_{1}+2\vec{a}_{2}+6\vec{a}_{3},
\vec{b}_{2}=4\vec{a}_{1}+6\vec{a}_{2}+3\vec{a}_{3},
\vec{b}_{3}=4\vec{a}_{1}+7\vec{a}_{2}+3\vec{a}_{3},
e sabemos que \operatorname{det}(A)=2.
A pergunta é: qual é o valor de \operatorname{det}(B), onde B é a matriz cujas colunas são \vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}?

Passo 2

Vamos escrever a relação entre A e B usando uma matriz de coeficientes. Se colarmos as colunas \vec{a}_i em A e as \vec{b}_j em B, existe uma matriz M tal que
B = A\,M.
As colunas de M são justamente os vetores de coeficientes que expressam cada \vec{b}_j em função das \vec{a}_i. Portanto, pela informação do enunciado:
M=\begin{pmatrix} 6 & 4 & 4\\[4pt] 2 & 6 & 7\\[4pt] 6 & 3 & 3 \end{pmatrix},
pois a primeira coluna \begin{pmatrix}6\\\ 2\\\ 6\end{pmatrix} corresponde a \vec{b}_1=6\vec{a}_1+2\vec{a}_2+6\vec{a}_3, e assim por diante.]

Passo 3

Agora usamos uma propriedade fundamental dos determinantes: para quaisquer matrizes quadradas compatíveis,
\operatorname{det}(AB)=\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B).
Aplicando isso a B=A\,M obtemos
\operatorname{det}(B)=\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(M).
Intuição rápida: o determinante mede o fator de escala de volumes por uma transformação linear; compor duas transformações multiplica esses fatores.

Passo 4

Então precisamos só calcular \operatorname{det}(M) e multiplicar por \operatorname{det}(A)=2.
Começamos com
M=\begin{pmatrix} 6 & 4 & 4\\[4pt] 2 & 6 & 7\\[4pt] 6 & 3 & 3 \end{pmatrix}.
Fazemos a operação de linha \text{R}_1\leftarrow\text{R}_1-\text{R}_3. Essa operação preserva o determinante (subtrair uma linha de outra não altera o determinante). Assim obtemos a matriz equivalente
M'=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 6 & 7\\[4pt] 6 & 3 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calculamos \operatorname{det}(M') (que é igual a \operatorname{det}(M)). Expandindo pela primeira linha (fácil porque tem um zero) temos, lembrando do sinal alternado +,-,+:
\operatorname{det}(M') = 0\cdot C_{11} - 1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 7\\[4pt]6 & 3\end{pmatrix} + 1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 6\\[4pt]6 & 3\end{pmatrix}.
Calculamos as duas determinantes 2×2:
\det\begin{pmatrix}2 & 7\\[4pt]6 & 3\end{pmatrix} = 2\cdot 3 - 7\cdot 6 = 6 - 42 = -36,
\det\begin{pmatrix}2 & 6\\[4pt]6 & 3\end{pmatrix} = 2\cdot 3 - 6\cdot 6 = 6 - 36 = -30.
Substituindo:
\operatorname{det}(M') = -1\cdot(-36) + 1\cdot(-30) = 36 - 30 = 6.
Portanto \operatorname{det}(M)=6.]

Passo 6

Voltando à fórmula do Passo 3,
\operatorname{det}(B)=\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(M)=2\cdot 6=12.
Força aí — deu certo! A resposta está dentre as opções: é a alternativa que corresponde a 12.

Resposta

12

Exercícios relacionados