Calcule os autovetores das matrizes
A= -3 4 \ -1 2

Passo 1

O enunciado pede: calcular os autovetores da matriz A abaixo. A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix}-3 & 4 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\;A é uma matriz 2\times2 com entradas -3,4,-1,2.
A única pergunta: encontrar os autovetores (vetores não nulos v tais que A v = \lambda v para algum escalar \lambda) de A.]

Passo 2

Primeiro precisamos achar os autovalores \lambda. Lembra que um vetor v\neq 0 é autovetor de A se existe \lambda tal que
A v = \lambda v,
que equivale a
(A-\lambda I)v = 0.
Para existir solução não trivial v\neq 0 dessa equação homogênea, a matriz A-\lambda I deve ser singular, ou seja, ter determinante zero:
\det(A-\lambda I)=0.
Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
o determinante é \det=\;ad-bc. Vamos aplicar isso em A-\lambda I.

Passo 3

Escrevendo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}-3-\lambda & 4 \\[4pt] -1 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(-3-\lambda)(2-\lambda)-4\cdot(-1).
Calcule passo a passo:
(-3-\lambda)(2-\lambda)=(-3)\cdot2 + (-3)(-\lambda)+(-\lambda)\cdot2+(-\lambda)(-\lambda)
= -6 +3\lambda -2\lambda +\lambda^2 = \lambda^2+\lambda-6.
Somando o termo -4\cdot(-1)=+4 obtemos
\det(A-\lambda I)=\lambda^2+\lambda-6+4=\lambda^2+\lambda-2.
Portanto o polinômio característico é
\lambda^2+\lambda-2=0.]

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática \lambda^2+\lambda-2=0. Use a fórmula de Bhaskara (ou fatoração se preferir). O discriminante é
\Delta=1^2-4\cdot1\cdot(-2)=1+8=9.
As raízes são
\lambda=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{-1\pm3}{2}.
Assim obtemos os autovalores
\lambda_1=\frac{-1+3}{2}=1,\qquad \lambda_2=\frac{-1-3}{2}=-2.

Passo 5

Agora encontramos os autovetores associados a cada autovalor, resolvendo (A-\lambda I)v=0 para cada \lambda.
Para \lambda_1=1:
A-I=\begin{pmatrix}-3-1 & 4 \\\\ -1 & 2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 & 4 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.
Queremos (A-I)\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=0, ou seja o sistema
-4x+4y=0,
-1x+1y=0.
As duas equações são equivalentes (segunda é a primeira dividida por 4). Da equação -4x+4y=0 segue y=x. Portanto o autovetor tem a forma
v_1 = \begin{pmatrix}x\\[4pt] x\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},
com x\neq 0. Uma escolha simples de representante é
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
(Dica: autovetores são únicos até multiplicação por escalar, então qualquer múltiplo não nulo serve.)]

Passo 6

Para \lambda_2=-2:
A-(-2)I=A+2I=\begin{pmatrix}-3+2 & 4 \\\\ -1 & 2+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 4 \\[4pt] -1 & 4\end{pmatrix}.
Resolvendo (A+2I)\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=0 temos o sistema
-1x+4y=0,
-1x+4y=0
(novamente as duas equações iguais). Da equação -x+4y=0 vem x=4y. Logo os autovetores têm a forma
v_2=\begin{pmatrix}4y\\[4pt] y\end{pmatrix}=y\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix},
com y\neq 0. Uma escolha simples é
v_2=\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (para dar segurança): calcule A v_1 e A v_2.
A\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\cdot1+4\cdot1\\[4pt]-1\cdot1+2\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=1\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},
A\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\cdot4+4\cdot1\\[4pt]-1\cdot4+2\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\\[4pt]-2\end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix}.
As igualdades confirmam que os vetores escolhidos são de fato autovetores associados a \lambda_1=1 e \lambda_2=-2. Bom trabalho — você já domina o processo!]

Resposta

\lambda=1:\;\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}\newline
\lambda=-2:\;\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix}]

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