Sejam os predicados:
com domínio nos números inteiros.
Escreva em português o significado de cada expressão e determine seu valor-verdade:
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Escreva em português o significado de cada expressão e determine seu valor-verdade:
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Passo 1
O enunciado dá os predicados
e
com domínio nos inteiros e pede duas coisas para a expressão
: (a) escrever em português o significado da expressão; (b) determinar seu valor‑verdade. As informações dadas são:
Domínio: todos os números inteiros.
Passo 2
Vou explicar o que cada predicado quer dizer, de forma bem clara.
significa que o inteiro
é não‑negativo (ou seja,
é maior ou igual a zero).
significa que existe um inteiro
tal que
— essa é a definição de “múltiplo de 3”:
é múltiplo de 3 quando pode ser escrito como três vezes algum inteiro.
Passo 3
Agora escrevo a expressão inteira em português, palavra a palavra. A fórmula
lê‑se: “Para todo inteiro
,
ou
.” Expandindo
e
, fica:
Para todo inteiro ,
ou
é múltiplo de
.
Para todo inteiro
Passo 4
Explico como interpretar a lógica: o quantificador universal
exige que a propriedade que vem a seguir seja verdadeira para todos os elementos do domínio (aqui, todos os inteiros). A disjunção
é verdadeira para um dado
sempre que pelo menos um dos predicados
ou
for verdadeiro; é falsa somente quando ambos são falsos.
Passo 5
Portanto, para que
seja verdadeira, cada inteiro
tem de satisfazer “
ou
é múltiplo de 3”. Para mostrar que a sentença universal é falsa basta encontrar um contraexemplo: um inteiro
tal que
(ou seja,
) e simultaneamente
não seja múltiplo de 3 (ou seja,
). Se acharmos tal
, a disjunção
será falsa para esse
, e assim a afirmação universal será falsa.
Passo 6
Procurando um exemplo simples: tome
. Verifico os predicados:
Para
ser verdadeira haveria um inteiro
tal que
. Isso exigiria
, que não é inteiro. Logo
é falso. Portanto, para
temos
e
.
Passo 7
Como para
ambos
e
são falsos, a disjunção
é falsa. Isso fornece um contraexemplo ao quantificador universal. Concluímos que não é verdade que “para todo inteiro
,
ou
é múltiplo de 3”.
Passo 8
Interpretação lógica final: a negação da afirmação original é
ou seja, existe um inteiro que é negativo e não é múltiplo de 3. Com o contraexemplo
vemos que essa existência é verdadeira, portanto a afirmação universal original é falsa.
Resposta
Para todo inteiro
,
ou
é múltiplo de
.
Falso (contraexemplo: , pois
é falso e
não é múltiplo de
).
Falso (contraexemplo: