Sejam os predicados:
P(x): x \geq 0 \quad \text { e } \quad Q(x): x \text { é múltiplo de } 3éú
com domínio nos números inteiros.
Escreva em português o significado de cada expressão e determine seu valor-verdade:
$ \forall x(P(x) \vee Q(x))

Passo 1

O enunciado dá os predicados P(x) e Q(x) com domínio nos inteiros e pede duas coisas para a expressão \forall x (P(x)\vee Q(x)): (a) escrever em português o significado da expressão; (b) determinar seu valor‑verdade. As informações dadas são:
P(x): x\geq 0
Q(x): x\\ \text{é múltiplo de}\\\ 3éú
Domínio: todos os números inteiros.

Passo 2

Vou explicar o que cada predicado quer dizer, de forma bem clara. P(x) significa que o inteiro x é não‑negativo (ou seja, x é maior ou igual a zero). Q(x) significa que existe um inteiro k tal que x=3k — essa é a definição de “múltiplo de 3”: x é múltiplo de 3 quando pode ser escrito como três vezes algum inteiro.

Passo 3

Agora escrevo a expressão inteira em português, palavra a palavra. A fórmula
\forall x\,(P(x)\vee Q(x))
lê‑se: “Para todo inteiro x, P(x) ou Q(x).” Expandindo P e Q, fica:
Para todo inteiro x, x\geq 0 ou x é múltiplo de 3.

Passo 4

Explico como interpretar a lógica: o quantificador universal \forall x exige que a propriedade que vem a seguir seja verdadeira para todos os elementos do domínio (aqui, todos os inteiros). A disjunção P(x)\vee Q(x) é verdadeira para um dado x sempre que pelo menos um dos predicados P(x) ou Q(x) for verdadeiro; é falsa somente quando ambos são falsos.

Passo 5

Portanto, para que \forall x\,(P(x)\vee Q(x)) seja verdadeira, cada inteiro x tem de satisfazer “ x\ge 0 ou x é múltiplo de 3”. Para mostrar que a sentença universal é falsa basta encontrar um contraexemplo: um inteiro x tal que x<0 (ou seja, \neg P(x)) e simultaneamente x não seja múltiplo de 3 (ou seja, \neg Q(x)). Se acharmos tal x, a disjunção P(x)\vee Q(x) será falsa para esse x, e assim a afirmação universal será falsa.

Passo 6

Procurando um exemplo simples: tome x=-1. Verifico os predicados:
P(-1):\quad -1\geq 0\\ ?\\ \text{Falso.}
Q(-1):\quad -1\\ \text{é múltiplo de 3?}éú
Para Q(-1) ser verdadeira haveria um inteiro k tal que -1=3k. Isso exigiria k=-\tfrac{1}{3}, que não é inteiro. Logo Q(-1) é falso. Portanto, para x=-1 temos \neg P(-1) e \neg Q(-1).

Passo 7

Como para x=-1 ambos P(-1) e Q(-1) são falsos, a disjunção P(-1)\vee Q(-1) é falsa. Isso fornece um contraexemplo ao quantificador universal. Concluímos que não é verdade que “para todo inteiro x, x\ge0 ou x é múltiplo de 3”.

Passo 8

Interpretação lógica final: a negação da afirmação original é
\neg\big(\forall x\,(P(x)\vee Q(x))\big)\equiv \exists x\,\neg(P(x)\vee Q(x))\equiv \exists x\,(\neg P(x)\wedge \neg Q(x)),
ou seja, existe um inteiro que é negativo e não é múltiplo de 3. Com o contraexemplo x=-1 vemos que essa existência é verdadeira, portanto a afirmação universal original é falsa.

Resposta

Para todo inteiro x, x\geq 0 ou x é múltiplo de 3.
Falso (contraexemplo: x=-1, pois -1\geq0 é falso e -1 não é múltiplo de 3).

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